[论文解读] Period adding and incrementing gluing bifurcations in one-dimensional piecewise-smooth maps: theory and applications

Albert Granados, Lluı́s Alsedà+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 93被引用 3

一句话总结

本文建立了在一维分段光滑映射中周期增加与周期递增分岔情景的严格充分条件，证明了周期轨道以遵循法里树结构（周期增加）或通过块拼接（周期递增）的方式出现，其周期分别通过连续相加或恒定相加的方式增加，且在任一或两个区域中保持方向不变的条件下成立。

ABSTRACT

In this review article we provide sufficient conditions for the occurrence of the so-called period adding and period incrementing bifurcations scenarios in piecewise-smooth one-dimensional maps, and we show how these results can be easily applied to real-world applications. The first scenario occurs when the piecewise-smooth map preserves orientation. This scenario refers to the appearance of periodic orbits whose symbolic sequences and rotation numbers follow a Farey tree structure; the periods of the periodic orbits are given by consecutive addition. The second scenario occurs when the piecewise-smooth map preserves orientation only in one domain. In this case, symbolic sequences are obtained by consecutive attachment of a given symbolic block and the periods of periodic orbits are incremented by a constant term. These scenarios have been widely observed in the literature by the non-smooth community when numerically investigating piecewise-smooth discontinuous maps. In this review we assemble and extend classical results for circle maps to discontinuous circle maps and apply them to provide rigorous and complete proofs.

研究动机与目标

• 识别并形式化一维分段光滑映射中周期增加与周期递增分岔情景发生的条件。
• 将经典圆映射理论扩展至不连续映射，为观察到的分岔模式提供严格的理论基础。
• 统一并推广非光滑动力系统中周期轨道序列的现有数值观测结果。
• 为分段光滑设定下特定符号序列与旋转数的周期轨道出现提供完整且严格的证明。
• 通过说明性实例，证明理论框架在真实世界系统中的适用性。

提出的方法

• 推导出当映射在整个定义域保持方向不变时，周期增加分岔的充分条件。
• 分析仅在一个区域中保持方向不变时的周期递增分岔，导致通过块拼接形成的符号序列。
• 应用法里树结构来描述周期增加情景下周期轨道的符号序列与旋转数。
• 运用符号动力学与旋转数理论，刻画不连续映射中周期轨道序列的特征。
• 通过严格的拓扑与组合论证，将连续圆映射的经典结果推广至不连续的分段光滑映射。
• 基于符号序列的结构以及映射在不连续点处的行为，构建证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维分段光滑映射中，周期增加分岔情景在何种条件下发生？
• RQ2 在周期增加情景中，符号序列与旋转数如何演化？法里树结构起到何种作用？
• RQ3 当仅在一个区域中保持方向不变时，周期递增分岔的充分条件是什么？
• RQ4 块拼接机制如何在第二种情景中生成周期递增的周期轨道？
• RQ5 经典圆映射理论在多大程度上可被推广至不连续的分段光滑映射？

主要发现

• 当映射在整个定义域保持方向不变时，发生周期增加分岔，导致其周期轨道的符号序列遵循法里树结构。
• 在周期增加情景中，周期轨道的周期通过连续相加生成，对应于法里序列中前一周期的和。
• 当仅在一个区域中保持方向不变时，发生周期递增分岔，导致通过重复拼接固定符号块形成的符号序列。
• 在周期递增情景中，周期轨道的周期以恒定项递增，反映出轨道序列中线性增长的模式。
• 该理论框架成功地将经典连续圆映射结果推广至不连续的分段光滑映射，并提供了严格的证明。
• 推导出的条件为预测和分析非光滑动力系统在真实世界应用中的周期轨道序列，提供了一套完整且系统化的方法。