[论文解读] Period and index in the Brauer group of an arithmetic surface (with an appendix by Daniel Krashen)

Max Lieblich|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 23

一句话总结

本文引入了堆层理论方法，以分解算术曲面上布饶尔类的分歧，利用堆上的扭曲层建立周期-指标问题的新界。证明了对于高阶局部或全球域上的域，布brauer类的指标整除其周期的幂次，且该幂次由局部或全局域的维数有界，附录中丹尼尔·克拉申展示了这些界是精确的。

ABSTRACT

In this paper we introduce two new ways to split ramification of Brauer classes on surfaces using stacks. Each splitting method gives rise to a new moduli space of twisted stacky vector bundles. By studying the structure of these spaces we prove new results on the standard period-index conjecture. The first yields new bounds on the period-index relation for classes on curves over higher local fields, while the second can be used to relate the Hasse principle for forms of moduli spaces of stable vector bundles on pointed curves over global fields to the period-index problem for Brauer groups of arithmetic surfaces. We include an appendix by Daniel Krashen showing that the local period-index bounds are sharp.

研究动机与目标

• 建立高阶局部与全球域上布饶尔类周期-指标关系的新界。
• 将全球域上曲线稳定向量丛模空间的哈塞原理与算术曲面的周期-指标问题联系起来。
• 通过循环轨道覆盖与根构造，发展一种堆层理论框架，以分解布brauer类的分歧。
• 证明局部周期-指标界是精确的，确认导出界的最优性。

提出的方法

• 使用堆层理论技术，本文构造扭曲堆层向量丛的模空间，以解决布brauer类中的分歧。
• 应用循环轨道覆盖与根构造来分裂分歧，使在堆层曲线上研究扭曲层成为可能。
• 该方法依赖于堆上扭曲层的形变理论与模理论，尤其在布brauer群的背景下。
• 在有限群概形的分类堆上进行上同调计算，例如 $\mathbf{B}\boldsymbol{\mu}_n$，以分析布brauer群。
• 使用形式扩张与堆上向量丛的下降理论，关联全局与局部不变量。
• 附录中丹尼尔·克拉申通过高阶局部域上除法代数的显式构造，证明了导出的局部周期-指标界是精确的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高阶局部域上，布brauer类的指标相对于其周期的最佳可能界是什么？
• RQ2 如何通过堆几何系统地分裂算术曲面上布brauer类的分歧？
• RQ3 向量丛模空间的哈塞原理在多大程度上蕴含算术曲面的周期-指标猜想？
• RQ4 能否通过堆层理论模空间将全球域上的周期-指标问题约化为局部条件？
• RQ5 高阶局部域上布brauer类的局部周期-指标界是否最优？

主要发现

• 对于 $d$-局部域 $K$，若其剩余域的 $M'$-布brauer维数不超过 $a$，则 $K$ 的 $(Mp)'$-布brauer维数不超过 $a + d$，建立了归纳界。
• 在代数闭域 $k$ 上的迭代洛朗级数域 $k((x_1))\cdots((x_d))$ 上，当周期与特征互素时，指标整除周期的 $d$ 次方。
• 对于剩余域为有限域、特征为 $p$ 的 $d$-局部域，当周期与 $p$ 互素时，指标整除周期的 $(d+1)$ 次方，且当该域为局部域的极大无分歧扩张的代数扩张时，等号成立。
• 假设科利奥-特尔内猜想，对于全球域 $K$ 及其上具有有理点的曲线 $C/K$，任何奇周期、在整除其周期的素数处无分歧且在该点平凡的布brauer类满足 $\operatorname{ind}(\alpha) \mid \operatorname{per}(\alpha)^2$。
• 所导出的局部周期-指标界是精确的：对每个 $d$ 和与特征互素的 $n$，均存在 $d$-局部型域与周期为 $n$、指标为 $n^d$ 的布brauer类，附录中克拉申已证明此点。
• 通过赋值理论论证构造高阶局部域上的除法代数，确认了界之精确性，使用了赋值准则与整模型上的范数多项式。