[论文解读] Period relations for automorphic forms on unitary groups and critical values of $L$-functions

Lucio Guerberoff|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文建立了一种公式，通过自守二次周期和CM周期，将CM域上单位群上上同调自守表示的标准L函数的临界值与Petersson范数联系起来。通过比较这些表达式，并利用加倍法和自守向量丛上的微分算子，证明了Deligne关于临界值的猜想。

ABSTRACT

In this paper we explore some properties of periods attached to automorphic representations of unitary groups over CM fields and the critical values of their $L$-functions. We prove a formula expressing the critical values in the range of absolute convergence in terms of Petersson norms of holomorphic automorphic forms. On the other hand, we express the Deligne period of a related motive as a product of quadratic periods and compare the two expressions by means of Deligne's conjecture.

研究动机与目标

• 将Harris关于单位群在虚二次域上临界L值的结果，从虚二次域推广到任意CM域。
• 将绝对收敛范围内的临界值用全纯自守形式的Petersson范数表示。
• 通过动机解释将这些L值与Deligne周期联系起来，并验证Deligne关于临界值的猜想。
• 利用Tate猜想，建立自守二次周期与动机周期之间的周期关系。
• 将二次周期的框架扩展至高秩单位群和一般CM域，为p进L函数的构造提供基础。

提出的方法

• 应用加倍法，将标准L函数表示为全纯自守形式与Eisenstein级数的积分。
• 利用全局与局部的Piatetski-Shapiro-Rallis zeta积分，将L值与自守形式的内积联系起来。
• 采用Harris（1986）提出的自守向量丛上的微分算子，确保在L的Galois闭包$L'$上的zeta积分具有有理性。
• 将自守二次周期$Q^{\text{hol}}(\tau)$定义为自守表示$\pi$中算术全纯向量的Petersson范数。
• 引入与CM域$L$的代数Hecke特征$ψ$相关的CM周期$P(\psi)$。
• 利用Tate猜想，将动机的Hodge-de Rham结构与$\ell$-adic实现联系起来，从而实现动机周期的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用自守周期表达CM域上单位群上上同调自守表示的标准L函数的临界值？
• RQ2 动机的Deligne周期与来自全纯形式的自守二次周期之间的确切关系是什么？
• RQ3 Deligne猜想所预测的周期关系在一般CM域上的单位群上在多大程度上成立？
• RQ4 自守二次周期$Q^\text{hol}(\pi)$与CM周期$P(\psi)$如何结合以表达临界L值？
• RQ5 能否通过Tate猜想与Hodge理论结构，为L值公式的动机解释提供依据？

主要发现

• 临界值$L^S(m - (n-1)/2, \pi \otimes \psi, \text{St})$可表示为$(2\pi i)$的幂、判别式因子$D_K^{\lfloor(n+1)/2\rfloor/2}$、CM周期$P(\psi)$以及自守二次周期$Q^\text{hol}(\pi)$的乘积，模去$E(\pi) \otimes E(\psi) \otimes L'$中的代数数。
• 自守二次周期$Q^\text{hol}(\pi)$被定义为自守表示$\pi$中算术全纯向量的Petersson范数。
• 当$n$为偶数时，动机周期$\partial(M)$在$E \otimes K'$上在猜想意义下平凡，从而将Deligne猜想简化为等式$Q^\text{hol}(\pi) \sim_{E(\psi)EL'} Q^\text{s}(M)$。
• 当$n$为奇数时，动机周期$\delta(M)$被证明等价于$D_K^{n/2} (2\pi i)^{-n(n-1)/2}$，再次导致$\partial(M) \sim 1$，从而验证了Deligne猜想的弱形式。
• 在Tate猜想下，周期关系$Q^\text{hol}(\pi) \sim_{E(\psi)EL'} \prod_{\tau \in \Phi} \prod_{j=1}^{s_\tau} Q_{j,\sigma}(M)$成立，将自守周期与动机周期联系起来。
• 结果将Harris早期在虚二次域上的工作推广至任意CM域，为p进L函数与动机特殊值提供了框架。