[论文解读] Periodic complementary sets of binary sequences

Dragomir Ž. Ðoković|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2007

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文将二元序列周期互补集（PCS_N^p）的未决情况从26个减少至仅一个——即PCS_48的存在性仍未解决。通过构建新的循环差集族，作者推导出此前未知的周期二元序列集，在p ≤ 12且N ≤ 50的范围内显著推进了此类序列的分类工作。

ABSTRACT

Let PCS N p denote a set of p binary sequences of length N such that the sum of their periodic auto-correlation functions is a δ-function. In the 1990, Bömer and Antweiler addressed the problem of constructing PCS N p. They presented a table covering the range p ≤ 12, N ≤ 50 and showing in which cases it was known at that time whether PCS N p exist, do not exist, or the question of existence is undecided. The number of undecided cases was rather large. Subsequently the number of undecided cases was reduced to 26 by the author. In the present note, several cyclic difference families are constructed and used to obtain new sets of periodic binary sequences. Thereby the number of undecided cases is reduced to just one, namely PCS 48

研究动机与目标

• 在p ≤ 12且N ≤ 50的范围内，解决二元序列周期互补集（PCS_N^p）存在性问题的开放情况。
• 在Bömer与Antweiler于1990年综述之后，进一步减少PCS_N^p存在性问题中尚未解决的案例数量。
• 构建新的循环差集族，以生成具有理想周期自相关特性的周期二元序列。
• 为具有δ函数形式的周期自相关函数和的二元序列分类做出贡献。

提出的方法

• 使用组合设计技术构造新的循环差集族。
• 利用循环差集族的性质，生成具有互补自相关的周期二元序列。
• 应用将差集族与周期互补集（PCS_N^p）关联的理论框架。
• 验证所构造序列的周期自相关函数之和形成δ函数。
• 通过新构造方法系统性地测试PCS_N^p在参数空间中的存在性条件。
• 基于新构造结果，更新存在性表格，消除此前未决的案例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在p ≤ 12且N ≤ 50的范围内，哪些N与p值允许存在周期自相关函数和为δ函数的二元序列周期互补集（PCS_N^p）？
• RQ2 能否构造出新的循环差集族，以生成此前未知、具有理想相关特性的周期二元序列集？
• RQ3 在应用新构造技术后，PCS_N^p的未决存在性案例的最小数量是多少？
• RQ4 尽管在构造周期互补集方面取得进展，PCS_48的存在性是否仍保持未决？

主要发现

• 二元序列周期互补集（PCS_N^p）的存在性未决情况已从26个减少至仅一个。
• 当前未决情况仅限于PCS_48，表明在p ≤ 12且N ≤ 50的范围内，其余所有情况均已确认存在或被证明不存在。
• 成功构造了新的循环差集族，并用于生成具有理想周期自相关特性的周期二元序列。
• 该构造方法通过为此前存在性不确定的序列提供显式构造，有效消除了以往未决的案例。
• 结果证实了循环差集族作为生成二元序列周期互补集的有效工具。
• 最终的存在性表格仅剩一个未决案例：PCS_48。