[论文解读] Periodic continued fractions over $S$-integers in number fields and Skolem's $p$-adic method

Bradley W. Brock, Noam D. Elkies+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文将周期连分数（PCFs）从整数推广至数域中的 S-整数，引入了在数域整数环上定义的 PCF 代数曲线 V(B)N,k。通过矩阵动力学与连分数多项式，提出了一种算法以判断收敛性并利用 Skolem 的 p-adic 方法计算极限，尤其适用于 Z[√2]-扩张。关键成果是对 Z[√2] 上 α₂ = √(2+√2) 的 (0,3)、(1,2) 和 (2,1) 类型 PCF 实现了完全分类，证明了其有限性，并通过 Ljunggren 方程与 2-adic 技术显式找出全部 16 个和 20 个此类 PCF。

ABSTRACT

We generalize the classical theory of periodic continued fractions (PCFs) over ${\mathbf Z}$ to rings ${\mathcal O}$ of $S$-integers in a number field. Let ${\mathcal B}=\{\beta, {\beta^*}\}$ be the multi-set of roots of a quadratic polynomial in ${\mathcal O}[x]$. We show that PCFs $P=[b_1,\ldots,b_N,\bar{a_1\ldots ,a_k}]$ of type $(N,k)$ potentially converging to a limit in ${\mathcal B}$ are given by ${\mathcal O}$-points on an affine variety $V:=V({\mathcal B})_{N,k}$ generically of dimension $N+k-2$. We give the equations of $V$ in terms of the continuant polynomials of Wallis and Euler. The integral points $V({\mathcal O})$ are related to writing matrices in $ extrm{SL}_2({\mathcal O})$ as products of elementary matrices. We give an algorithm to determine if a PCF converges and, if so, to compute its limit. Our standard example generalizes the PCF $\sqrt{2}=[1,\bar{2}]$ to the ${\mathbf Z}_2$-extension of ${\mathbf Q}$: $F_n={\mathbf Q}(\alpha_n)$, $\alpha_{n}:=2\cos(2\pi/2^{n+2})$, with integers ${\mathcal O}_n={\mathbf Z}[\alpha_n]$. We want to find the PCFs of $\alpha_{n+1}$ over ${\mathcal O}_{n}$ of type $(N,k)$ by finding the ${\mathcal O}_{n}$-points on $V({\mathcal B}_{n+1})_{N,k}$ for ${\mathcal B}_{n+1}:=\{\alpha_{n+1}, -\alpha_{n+1}\}$. There are three types $(N,k)=(0,3), (1,2), (2,1)$ such that the associated PCF variety $V({\mathcal B})_{N,k}$ is a curve; we analyze these curves. For generic ${\mathcal B}$, Siegel's theorem implies that each of these three $V({\mathcal B})_{N,k}({\mathcal O})$ is finite. We find all the ${\mathcal O}_n$-points on these PCF curves $V({\mathcal B}_{n+1})_{N,k}$ for $n=0,1$. When $n=1$ we make extensive use of Skolem's $p$-adic method for $p=2$, including its application to Ljunggren's equation $x^2 + 1 =2y^4$.

研究动机与目标

• 将经典周期连分数（PCFs）理论从 Z 推广至数域中的 S-整数环。
• 定义并研究 PCF 代数曲线 V(B)N,k，用于参数化在 O 上收敛于二次多项式根的 O-PCFs 的类型 (N,k)。
• 开发一种算法，利用矩阵动力学与代数判别准则，判断 O-PCFs 的收敛性并计算其极限。
• 解决问题 1.1：在 O_n = Z[α_n] 上，对 α_{n+1} = 2cos(2π/2^{n+2})，找出所有类型为 (N,k) 的 O_n-PCFs，特别关注 n=0 和 n=1 的情况。
• 应用 Skolem 的 p-adic 方法与 Siegel 定理，证明 PCF 曲线（亏格 ≥1）上 O-点的有限性，并显式计算所有整数点。

提出的方法

• 将 PCF 代数曲线 V(B)N,k 定义为仿射曲线，通过 Wallis 与 Euler 的连分数多项式参数化 O-PCFs 的类型 (N,k)。
• 利用矩阵动力学：连分数 [b₁,…,bₙ,a₁,…,aₖ] 对应 SL₂(O) 中初等矩阵的乘积，其极限由关联矩阵 E(P) 决定。
• 基于周期部分的迹与矩阵元素，利用矩阵迭代理论中的判别准则，制定收敛性判断算法。
• 对 p=2 应用 Skolem 的 p-adic 方法求解 PCF 曲线上的丢番图方程，特别针对 (N,k) = (0,3)、(1,2)、(2,1) 的情形。
• 利用 Ljunggren 方程 x² + 1 = 2y⁴ 作为求解 PCF 曲线中出现的 2-adic 方程的关键工具。
• 借助 Siegel 定理证明 PCF 曲线（亏格 ≥1）上 O-点的有限性，并通过同余与覆盖技术处理 Skolem 方法无法直接适用的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在数域的 S-整数环上，PCF 代数曲线 V(B)N,k 何时为曲线？其几何与算术结构如何？
• RQ2 如何算法性地判断给定类型 (N,k) 的 O-PCF 是否收敛，若收敛，其极限是其定义二次方程的哪一个根？
• RQ3 在 O_n = Z[α_n] 上，对 α_{n+1} = 2cos(2π/2^{n+2})，所有类型为 (N,k) 的 O_n-PCFs 的完整集合是什么？特别关注 n=0 和 n=1 的情形。
• RQ4 Skolem 的 p-adic 方法能否有效应用于数域中 PCF 曲线上的丢番图方程？其与 Ljunggren 方程的相互作用如何？
• RQ5 在 PCF 代数曲线 V(B)N,k 上，O-点是否有限？当曲线亏格 ≥1 时，能否显式计算所有 O-点？

主要发现

• 在 Q 的 Z[√2]-扩张中，PCF 代数曲线 V(2+√2)₀,₃ 恰好有 16 个 Z[√2]-点，对应于 α₂ = √(2+√2) 的 8 个不同 PCF（类型 (0,3)）。
• 曲线 V(2+√2)₁,₂ 恰好有 20 个 Z[√2]-点，对应于 α₂ 的 10 个不同 PCF（类型 (1,2)），且不存在其他此类 PCF。
• 在 Z[√2] 上，V(2+√2)₂,₁ 为空集，通过简单的同余论证证明，因此 α₂ 上不存在类型 (2,1) 的 PCF。
• 在 PCF [57−39√2, 239+169√2, −733+52√2] 中出现的 239 + 169√2 确认了 Ljunggren 方程 x²+1=2y⁴ 在求解 V(2+√2)₀,₃ 中的关键作用。
• Skolem 的 p-adic 方法成功应用于 Z[√2] 上的 V(2+√2)₀,₃ 与 V(2+√2)₁,₂，其中后者需通过覆盖论证化为可解方程。
• 对一般 B，Siegel 定理表明 PCF 曲线 V(B)N,k 上的 O-点有限，且在 Z[√2]-扩张情形中已显式实现。