[论文解读] Periodic cyclic homology of affine Hecke algebras

Maarten Solleveld|ArXiv.org|Oct 8, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 83被引用 18

一句话总结

本文计算了仿射赫尔代因代数的周期循环同调，这是一类在半单 $p$-进群表示理论中出现的代数。通过 $K$-理论、循环同调和调和分析的技术，本文建立了将周期循环同调与代数的表示理论数据相关联的陈数特征同构，特别是在参数相等的情况下。

ABSTRACT

This is the author's PhD-thesis, which was written in 2006. The version posted here is identical to the printed one. Instead of an abstract, the short list of contents: Preface 5 1 Introduction 9 2 K-theory and cyclic type homology theories 13 3 Affine Hecke algebras 61 4 Reductive p-adic groups 103 5 Parameter deformations in affine Hecke algebras 129 6 Examples and calculations 169 A Crossed products 223 Bibliography 227 Index 237 Samenvatting 245 Curriculum vitae 253

研究动机与目标

• 计算仿射赫尔代因代数的周期循环同调，这些代数是仿射韦尔群群代数的形变。
• 在周期循环同调与代数的 $K$-理论之间建立陈数特征同构。
• 利用同调不变量，扩展关于仿射赫尔代因代数表示理论的已知结果，特别是参数相等的情况。
• 通过伯恩斯坦分解，将仿射赫尔代因代数的同调结构与 $p$-进群上的调和分析联系起来。
• 为基于几何与代数数据理解不可约表示的分类，提供一个同调框架。

提出的方法

• 将拓扑循环理论与周期循环同调应用于有限型代数，特别是仿射赫尔代因代数。
• 利用陈数特征将拓扑 $K$-理论与周期循环同调联系起来，利用参数相等时的同构关系。
• 在赫尔代因代数上使用傅里叶变换，将表示与对偶空间上的函数联系起来。
• 利用光滑表示范畴的伯恩斯坦分解，将其划分为若干块，每一块等价于一个仿射赫尔代因代数上的模范畴。
• 应用等变 $K$-理论的结果以及 Kazhdan 和 Lusztig 的工作，对不可约表示进行分类，并将其与同调计算联系起来。
• 依赖于半单 $p$-进群及其哈里什-钱德拉施瓦茨代数的结构，以定义相关代数及其同调不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于仿射赫尔代因代数，其周期循环同调是什么，特别是在所有参数相等的情况下？
• RQ2 周期循环同调如何与代数的 $K$-理论和表示理论相关联？
• RQ3 陈数特征能否在仿射赫尔代因代数的周期循环同调与 $K$-理论之间提供一个同构？
• RQ4 代数的同调结构如何反映伯恩斯坦分解与兰兰德斯表示分类？
• RQ5 温和表示与离散系列表示在周期循环同调的计算中起什么作用？

主要发现

• 对于参数相等的仿射赫尔代因代数，周期循环同调通过陈数特征同构于代数的 $K$-理论。
• 该计算依赖于这样一个事实：在参数相等的情况下，仿射赫尔代因代数的不可约表示与底层仿射韦尔群的不可约表示之间存在双射，这一结论由 Kazhdan 和 Lusztig 建立。
• 陈数特征在周期循环同调与代数的 $K$-理论之间诱导出一个同构，为表示理论分类提供了同调实现。
• 该方法可推广至一般正参数情况，尽管分类仅部分成立，且同调计算更为复杂。
• 结果表明，周期循环同调捕捉了关键的表示理论数据，如离散系列与温和表示的结构。
• 该框架使得兰兰德斯分类能够以同调不变量的形式加以解释，从而将非交换几何与 $p$-进群上的调和分析联系起来。