[论文解读] Periodic Floer homology and the smooth closing lemma for area-preserving surface diffeomorphisms

Dan Cristofaro‐Gardiner, Rohil Prasad+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2021

Geometric and Algebraic Topology被引用 8

一句话总结

本文为面积保持的曲面微分同胚上的周期弗洛尔同调（PFH）建立了类威爾（Weyl-type）定律，证明在单调性条件下，PFH具有无限秩，并在极限下恢复卡勒比不变量。利用此结果，证明了光滑闭合引理，表明在闭曲面上的$C^\infty$-泛常面积保持微分同胚具有稠密的周期点集——从而在此设定下解决了斯梅尔的第十问题。

ABSTRACT

We prove a very general Weyl-type law for Periodic Floer Homology, estimating the action of twisted Periodic Floer Homology classes over essentially any coefficient ring in terms of the grading and the degree, and recovering the Calabi invariant of Hamiltonians in the limit. We also prove a strong non-vanishing result, showing that under a monotonicity assumption which holds for a dense set of maps, the Periodic Floer Homology has infinite rank. An application of these results yields that a $C^{\infty}$-generic area-preserving diffeomorphism of a closed surface has a dense set of periodic points. This settles Smale's tenth problem in the special case of area-preserving diffeomorphisms of closed surfaces.

研究动机与目标

• 为任意系数环上的周期弗洛尔同调（PFH）建立一个通用的类威爾定律，关联作用量、分次和度数。
• 在单调性条件下，证明扭曲PFH的强非零结果，确保对一个稠密映射集存在非平凡同调类。
• 将这些结果应用于证明闭曲面上$C^\infty$面积保持微分同胚的光滑闭合引理。
• 通过证明泛常映射具有稠密周期点，解决面积保持曲面微分同胚情形下斯梅尔的第十问题。
• 使用PFH技术，将先前关于哈密顿微分同胚的结果推广至更广泛的面积保持微分同胚类。

提出的方法

• 为扭曲周期弗洛尔同调（TwPFH）建立类威爾定律，以分次和度数估计同调类的作用量。
• 通过阿蒂亚-帕多利-辛格指标定理，采用谱流和指标理论方法，计算柱状流形上狄拉克算子的指标。
• 在$\mathbb{R} \times M_\phi$中，以伪全纯曲线定义PFH和TwPFH，其中$M_\phi$是$\phi$的映射环面。
• 通过$M_\phi$上面积形式$\omega_\phi$的拉回，引入以辛作用量为过滤的结构。
• 应用贝尔范畴论证，从闭合引理推导出稠密周期点的泛常性。
• 使用扰动技术，并利用$C^r$拓扑中光滑映射的$C^\infty$-稠密性，将结果推广至$C^r$设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为周期弗洛尔同调建立一个类威爾定律，使其在任意系数环上以分次和度数估计作用量？
• RQ2 在何种条件下扭曲PFH具有无限秩，这与面积保持微分同胚的动力学有何关联？
• RQ3 能否使用PFH证明闭曲面上$C^\infty$面积保持微分同胚的光滑闭合引理？
• RQ4 $C^\infty$面积保持微分同胚在闭曲面上的稠密周期点泛常性是否成立？
• RQ5 PFH类威爾定律在多大程度上可用于在极限下恢复卡勒比不变量？

主要发现

• 为扭曲PFH建立了通用类威爾定律，以分次和度数估计同调类的作用量，并在极限下恢复卡勒比不变量。
• 在单调性条件下（该条件对面积保持微分同胚的稠密集成立），扭曲PFH具有无限秩。
• 证明了光滑闭合引理：对任意开集$U$和$\phi$的邻域$V$，存在$\phi' \in V$，使得$\phi'$在$U$中具有周期点。
• 作为推论，闭曲面上$C^\infty$-泛常面积保持微分同胚具有稠密的周期点集。
• 通过$C^\infty$映射在$C^r$拓扑中的稠密性，结果可推广至所有$r \geq 1$的$C^r$-拓扑。
• 证明依赖于指标理论、谱流以及阿蒂亚-帕多利-辛格定理，以控制伪全纯曲线模空间的维数。