[论文解读] Periodic nonlinear Schrödinger equation with application to photonic crystals

А. А. Панков|ArXiv.org|Apr 25, 2004

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 25被引用 36

一句话总结

本文在次临界、超线性非线性项及谱隙条件下，建立了周期非线性薛定谔方程存在非平凡、指数衰减解的结论。通过将这些结果应用于光子晶体，证明了局域化、可传播或静止的光子带隙孤子的存在性，即当频率位于谱隙内时，特别是自聚焦或非聚焦介质中禁止频率的情形下，此类解会涌现。

ABSTRACT

We present basic results, known and new, on nontrivial solutions of periodic stationary nonlinear Schrödinger equations. We also sketch an application to nonlinear optics and discuss some open problems.

研究动机与目标

• 建立周期定态非线性薛定谔方程在超线性、次临界非线性项下，于无穷远处趋于零的非平凡解的存在性定理。
• 将变分方法——特别是广义链接定理和周期逼近技术——推广至线性算子 $-\Delta + V$ 的谱隙包含零点的情形。
• 将抽象结果应用于非线性光学，具体为在具有周期性介电常数和非线性极化率的光子晶体中，证明带隙孤子的存在性。
• 分析带隙孤子在频率变化下的分岔行为，特别是靠近谱隙边缘时的情形。
• 识别开放性问题，包括非线性项变号以及渐近线性非线性项（如饱和效应）的情形。

提出的方法

• 基于Nehari流形和广义链接定理的变分方法，证明在周期性和谱隙假设下非平凡解的存在性。
• 应用周期逼近技术，将问题约化为标准临界点理论，将正定情形下的结果推广至谱隙情形。
• 通过 $E$-模态假设和时间平均的非线性本构关系，将周期光子晶体中的电磁波方程约化为二维非线性薛定谔方程。
• 将非线性响应建模为 $\mathbf{D} = (\varepsilon(x) + \chi(x)\langle|\mathbf{E}|\rangle^2)\mathbf{E}$，在约化的NLS中导出立方非线性项 $f(u) = \chi u^3$。
• 分析算子 $L_\omega = -\Delta - \omega^2\varepsilon(x)$ 的谱性质，表明 $0 \in \sigma(L_\omega)$ 意味着存在一个谱隙 $(-\alpha_-, \alpha_+)$。
• 当 $-\beta^2$ 位于 $L_\omega$ 的谱隙中时，建立局域解的存在性，且解在谱隙边缘处从零解分岔而出。

实验结果

研究问题

• RQ1 当线性算子具有谱隙时，周期非线性薛定谔方程在何种条件下存在在无穷远处衰减的非平凡解？
• RQ2 在周期性非线性项存在下，是否可利用变分方法严格证明光子晶体中带隙孤子的存在性？
• RQ3 带隙孤子的性质（如局域化和传播性）如何依赖于频率 $\omega$ 和波数 $\beta$？
• RQ4 当非线性项变号或变为渐近线性（如饱和非线性）而非立方非线性时，解的存在性会发生什么变化？
• RQ5 是否可将存在性结果推广至 $\chi(x)$ 不定号的情形，即自聚焦与非聚焦区域共存的情形？

主要发现

• 当 $0$ 属于 $-\Delta + V$ 的有限谱隙时，在 $f$ 满足标准次临界、超线性增长及符号条件的前提下，周期NLS存在非平凡、指数衰减的解。
• 在自聚焦情形（$\chi > 0$）下，当 $-\beta^2$ 不属于 $L_\omega$ 的谱时，对所有足够大的 $|\beta|$，均存在非平凡解。
• 在非聚焦情形（$\chi < 0$）下，仅当 $-\beta^2$ 位于 $L_\omega$ 的有限谱隙中（而非谱的下方）时，才存在非平凡解。
• 当 $\beta = 0$ 且 $0 \notin \sigma(L_\omega)$ 时，对所有禁止频率 $\omega$，均存在驻立带隙孤子，对应于 $0$ 位于有限谱隙中。
• 当 $\omega$ 趋近于谱隙边缘 $\omega_\pm$ 时，带隙孤子从零解分岔而出，且在边界处 $\alpha_\pm \to 0$。
• 结果可推广至一维结构，此时问题约化为一维周期NLS，以及 $\chi(x)$ 定号的介质；但 $\chi(x)$ 变号的情形仍为开放问题。