[论文解读] Periodic Points in Genus Two: Holomorphic Sections over Hilbert Modular Varieties, Teichmuller Dynamics, and Billiards

Paul Apisa|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文对原始亏格二阿贝尔微分的周期点进行了分类，证明唯一的非魏尔斯特拉斯周期点是黄金特征形式轨迹上的黄金点。通过退化技术和米尔扎哈尼-赖特部分紧化方法，本文表明所有GL(2,R)-等变点标记均源于双阿贝尔对、魏尔斯特拉斯点或黄金点，从而对希尔伯特模曲面上的全纯截面进行了分类，并证明H(6)中至多存在一个非算术秩二轨道闭包。

ABSTRACT

We show that all GL(2, R)-equivariant point markings over orbit closures of primitive genus two translation surfaces arise from marking pairs of points exchanged by the hyperelliptic involution, Weierstrass points, or the golden points in the golden eigenform locus. As corollaries, we classify the holomorphically varying families of points over orbifold covers of genus two Hilbert modular surfaces, solve the finite blocking problem on genus two translation surfaces, and show that there is at most one nonarithmetic rank two orbit closure in the minimal stratum in genus four.

研究动机与目标

• 对原始亏格二阿贝尔微分的轨道闭包上的所有GL(2,R)-等变点标记进行分类。
• 解决亏格二阿贝尔微分表面上的有限遮挡问题。
• 确定在魏尔斯特拉斯点和特征形式零点之外，是否存在关于亏格二希尔伯特模簇的全纯变化点族。
• 对H(6)中的非算术秩二仿射不变子流形进行分类。

提出的方法

• 通过退化论证，将周期点的分类归约为莫勒对原始亏格二维施表面周期点的分类。
• 应用米尔扎哈尼-赖特对仿射不变子流形的局部紧化方法，分析轨道闭包的边界行为。
• 利用阿贝尔微分表面的退化构造H(2,0,0)中的边界曲面，其轨道闭包维数为三。
• 应用阿皮萨-赖特定理于非典型点集，表明任何非典型集合必须包含奇点、周期点或双阿贝尔对。
• 在柱面群中使用标准剪切和德恩变换，分析GL(2,R)作用下的周期性和轨道等价性。
• 分析柱面分解的结构，并利用假设7.4、7.11和7.16验证其属于最小轨道闭包M0的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在原始亏格二阿贝尔微分曲面上，除了魏尔斯特拉斯点外，可能存在的周期点有哪些？
• RQ2 是否存在关于亏格二希尔伯特模簇的全纯截面，其不标记魏尔斯特拉斯点或特征形式零点？
• RQ3 在H(6)中，可以存在多少个非算术秩二轨道闭包？
• RQ4 在原始亏格二阿贝尔微分曲面上，哪些点集在GL(2,R)作用下不构成典型集合？
• RQ5 黄金特征形式轨迹能否被表征为亏格二中唯一包含非魏尔斯特拉斯周期点的轨道闭包？

主要发现

• 所有原始亏格二阿贝尔微分曲面的轨道闭包上的GL(2,R)-等变点标记，均源于双阿贝尔对、魏尔斯特拉斯点或黄金特征形式轨迹上的黄金点。
• 在H(6)中至多存在一个非算术秩二轨道闭包，且其不包含任何周期点。
• 亏格二阿贝尔微分曲面上的有限遮挡问题已完全解决：任意两点被有限遮挡当且仅当它们处于与上述结构相关的特定构型中。
• 在亏格二希尔伯特模曲面的轨道覆盖上，全纯截面仅存在于D=5（即黄金特征形式轨迹）时存在，且仅当其标记魏尔斯特拉斯点或特征形式零点时成立。
• 通过退化构造的边界曲面的轨道闭包维数恰好为三，确认其位于余维数为一的最小轨道闭包中。
• 具有两个不相交的单柱面且柱面群等价的边界曲面属于最小轨道闭包M0，且不包含任何周期点。