[论文解读] Periodic, Quasi-Periodic, Almost Periodic, Almost Automorphic, Birkhoff Recurrent and Poisson Stable Solutions for Stochastic Differential Equations

David Cheban, Zhenxin Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

advanced mathematical theories参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文建立了半线性随机微分方程中Poisson稳定解（如周期解、几乎周期解、几乎殆周期解及Birkhoff递归解）的存在性与稳定性。当系数在时间上为Poisson稳定时，若线性算子具有指数稳定性且非线性项足够小，则证明了解继承了系数的重复性特征，将Shcherbakov的可比性原理推广至随机情形，并在分布与平方均值意义下获得严格结果。

ABSTRACT

The paper is dedicated to studying the problem of Poisson stability (in particular stationarity, periodicity, quasi-periodicity, Bohr almost periodicity, Bohr almost automorphy, Birkhoff recurrence, almost recurrence in the sense of Bebutov, Levitan almost periodicity, pseudo-periodicity, pseudo-recurrence, Poisson stability) of solutions for semi-linear stochastic equation $$ dx(t)=(Ax(t)+f(t,x(t)))dt +g(t,x(t))dW(t)\quad (*) $$ with exponentially stable linear operator $A$ and Poisson stable in time coefficients $f$ and $g$. We prove that if the functions $f$ and $g$ are appropriately "small", then equation $(*)$ admits at least one solution which has the same character of recurrence as the functions $f$ and $g$.

研究动机与目标

• 将确定性方程中Shcherbakov的重复性可比性原理推广至随机微分方程。
• 研究随机方程中与系数具有相同重复性特征（如周期、几乎周期、几乎殆周期）的解的存在性。
• 建立解继承时变系数重复类型条件的充分条件。
• 在平方均值与分布意义下，分析解的有界性、耗散性及渐近稳定性。
• 为具有非马氏性、非平稳系数的随机系统中，存在具有指定重复性质的唯一有界解，提供充分条件。

提出的方法

• 构建一个半线性随机微分方程，其中线性算子A生成一个指数稳定的半群，且系数f(t,x)与g(t,x)在时间上为Poisson稳定。
• 在C(ℝ,X)上使用度量d定义函数的收敛性，并在连续函数空间中分析重复性特征。
• 通过重复特征的函数可比性概念，将Shcherbakov的框架扩展至随机方程。
• 通过压缩映射与稳定性估计，建立L²与分布意义下有界解的存在性与唯一性。
• 对f与g施加Lipschitz条件与全局线性增长条件，并验证一致可积性（条件C3），以确保SPDE中L²(ℙ, H)的收敛性。
• 应用耗散性与收敛性定理，证明在平方均值意义下解的全局渐近稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有Poisson稳定系数的随机微分方程会存在一个解，其重复性特征与系数相同？
• RQ2 Shcherbakov的可比性原理能否从确定性方程推广至具有广义重复类型的随机微分方程？
• RQ3 在何种条件下，可保证此类方程在平方均值与分布意义下存在有界、唯一且渐近稳定的解？
• RQ4 如何在具有非自治、非平稳系数的随机方程中，保持解的重复类型（如周期、几乎周期、几乎殆周期、Birkhoff递归）？
• RQ5 线性算子A的指数稳定性在保持解的重复结构中起到何种作用？

主要发现

• 若f与g有界且为Poisson稳定，则线性方程dx(t) = (Ax(t) + f(t))dt + g(t)dW(t)存在唯一的有界解φ，且φ继承f与g的相同重复性特征。
• 对于半线性方程dx(t) = (Ax(t) + F(t,x(t)))dt + G(t,x(t))dW(t)，在Lipschitz与小量条件下，存在唯一的有界解ξ，且ξ继承F与G的重复类型。
• 当F与G联合为Levitan几乎周期时，唯一解在分布意义下为Levitan几乎周期；当两者联合为拟周期时，解在分布意义下为拟周期。
• 所有具有L²初值的解在足够长时间后均被某个常数最终有界，如引理5.3所示。
• 在Lipschitz常数与一致可积性条件下，解在平方均值意义下为全局渐近稳定，如定理5.4所证。
• 对随机热方程与标量SDE的应用验证了理论结果，具体示例展示了在分布意义下Levitan几乎周期解与拟周期解的存在性。