[论文解读] Periodic solutions with prescribed minimal period of the 2-vortex problem in domains

Thomas Bartsch, Matteo Sacchet|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 3

一句话总结

本文通过将涡心的缓慢运动（沿Robin函数的等值线）与围绕涡心的快速旋转相结合，证明了在平面区域中，2-涡旋问题存在无穷多条具有指定最小周期的周期解。该结果适用于满足特定几何条件的子集𝒜⊂Ω，并对任意最小周期T∈I(𝒜)成立，其理论基础为高维Poincaré-Birkhoff定理。

ABSTRACT

We consider the Hamiltonian system \[ \dot{z}_k = J abla_{z_k} H_\Omega(z_1,z_2), \quad k=1,2, \] for two point vortices $z_1,z_2\in\Omega$ in a domain $\Omega\subset\mathbb{R}^2$. The Hamiltonian $H_\Omega$ is of the form \[ H_\Omega(z_1,z_2) = -\frac{1}{2\pi} \log |z_1-z_2| - 2g(z_1,z_2) - h(z_1) - h(z_2), \] where $g:\Omega imes\Omega o\mathbb{R}$ is the regular part of a hydrodynamic Green's function in $\Omega$, and $h:\Omega o\mathbb{R}$ is the Robin function: $h(z)=g(z,z)$. The system is singular and not integrable, except when $\Omega$ is a disk or an annulus. We prove the existence of infinitely many periodic solutions with minimal period $T$ which are a superposition of a slow motion of the center of vorticity along a level line of $h$ and of a fast rotation of the two vortices around their center of vorticity. These vortices move in a prescribed subset $\mathcal{A}\subset\Omega$ that has to satisfy a geometric condition. The minimal period can be any $T$ in an interval $I(\mathcal{A})\subset\mathbb{R}$. Subsets $\mathcal{A}$ to which our results apply can be found in any generic bounded domain. The proofs are based on a recent higher dimensional version of the Poincar\'e-Birkhoff theorem due to Fonda and Ure\~na.

研究动机与目标

• 在有界区域Ω⊂ℝ²中，建立两点涡旋的具有指定最小周期的周期解的存在性。
• 分析一般区域中具有奇异且不可积哈密顿系统的两点涡旋的动力学行为。
• 确定子集𝒜⊂Ω的几何条件，使得此类周期解存在。
• 证明解的最小周期T可以是依赖于𝒜的特定区间I(𝒜)内的任意值。
• 将周期解结果的适用范围从可积情形（如圆盘或环形区域）扩展至更一般情况。

提出的方法

• 利用流体格林函数的正则部分与Robin函数，为ℝ²中的有界区域Ω⊂ℝ²中的两点涡旋建立哈密顿系统。
• 将运动分解为涡心沿Robin函数h(z)的等值线的缓慢漂移，以及围绕涡心的快速旋转。
• 应用Fonda与Ureña近期提出的高维Poincaré-Birkhoff定理，证明周期解的存在性。
• 识别出使Poincaré-Birkhoff论证可适用的子集𝒜⊂Ω的几何条件。
• 证明解的最小周期T可以是依赖于𝒜的几何结构的区间I(𝒜)内的任意值。
• 利用哈密顿函数HΩ中对数部分与正则部分的结构，建模涡旋相互作用并推导动力系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在任意有界区域Ω⊂ℝ²中构造出具有指定最小周期的2-涡旋问题的周期解？
• RQ2 子集𝒜⊂Ω需要满足何种几何约束，才能使此类周期解存在？
• RQ3 涡心的缓慢运动与快速旋转之间的相互作用如何促成解的周期性？
• RQ4 对于被限制在给定子集𝒜⊂Ω内的解，是否可以实现任意最小周期T∈I(𝒜)？
• RQ5 这些结果在多大程度上可推广至非可积情形（如圆盘或环形区域）之外？

主要发现

• 在一般有界区域Ω⊂ℝ²中，2-涡旋问题存在无穷多条具有指定最小周期T的周期解。
• 这些解是涡心沿Robin函数h的等值线的缓慢运动与围绕涡心的快速旋转的叠加。
• 最小周期T可以是依赖于子集𝒜⊂Ω几何性质的区间I(𝒜)⊂ℝ中的任意值。
• 子集𝒜⊂Ω必须满足特定的几何条件，以保证此类解的存在性，且在任意一般有界区域中均可找到此类子集。
• 结果通过高维Poincaré-Birkhoff定理建立，将该定理的适用范围扩展至奇异且不可积的哈密顿系统。
• 该方法不仅适用于可积情形（如圆盘或环形区域），更显著扩展了已知周期解存在性的适用范围。