[论文解读] Periodicity for space-inhomogeneous quantum walks on the cycle

Toshiyuki Arai, Choon-Lin Ho+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文研究了在循环图上空间非均匀量子行走的周期性，重点关注两种时间演化方式：移动位移（MS）和翻转对称位移（FF）。对于同谱的量子比特，通过谱分析将已知的哈达玛行走周期性结果推广至更一般情形；对于非同谱情形，当仅原点处为一般量子比特而其余位置为单位矩阵时，整体周期性完全由该非单位量子比特的本征值决定，周期为 $ T_n(U^{FF}) = Mn $，其中 $ M $ 为该一般量子比特本征相位分母的最小公倍数。

ABSTRACT

In this paper, we consider periodicity for space-inhomogeneous quantum walks on the cycle. For isospectral coin cases, we propose a spectral analysis. Based on the analysis, we extend the result for periodicity for Hadamard walk to some isospectral coin cases. For non-isospectral coin cases, we consider the the system that uses only one general coin at the origin and the identity coin at the other sites. In this case, we show that the periodicity of the general coin at the origin determines the periodicity for the whole system.

研究动机与目标

• 分析在空间非均匀量子比特下的循环图上离散时间量子行走的周期性。
• 通过谱分析将已知的哈达玛行走周期性结果推广至同谱量子比特情形。
• 确定仅一个位置使用一般酉矩阵量子比特而其余位置使用单位矩阵的非同谱量子行走系统的周期性。
• 建立非同谱情形下全系统周期性与非均匀量子比特本征值之间的联系。

提出的方法

• 对循环图上移动位移（MS）和翻转对称位移（FF）行走的时间演化算符 $ U_n $ 进行谱分析。
• 利用本征值分解与酉等价性，将 $ \mathrm{Spec}(U_n^{FF}) $ 与 $ \mathrm{Spec}(U_n^{MS}(\mathcal{C}_n\sigma_x)) $ 关联，实现在不同模型间结果的转移。
• 定义 $[C:1,I_2:m]$ 模型，其中在位置 0 处放置单个一般量子比特 $ C $，其余位置为单位矩阵，且满足 $ n \equiv 0 \pmod{m+1} $。
• 推导时间演化算符的 $ kn $ 次幂，以分离出原点处非均匀量子比特的贡献。
• 应用量子比特 $ C $ 的本征相位分母的最小公倍数（lcm）来计算整体周期。
• 利用 $ U_n^{FF} $ 的周期性由 $ C $ 的本征值决定的结论，得到 $ T_n(U^{FF}) = Mn $，其中 $ M = \mathrm{lcm}(M_1,M_2) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 空间非均匀量子行走的周期性在循环图上如何依赖于不同位置的量子比特算符？
• RQ2 能否通过该量子比特的本征值完全表征原点处仅有一个非单位量子比特的量子行走周期性？
• RQ3 在量子比特非均匀性条件下，MS 与 FF 行走模型之间的周期性关系为何？
• RQ4 同谱量子比特系统周期性结果在哈达玛行走之外能在多大程度上推广？
• RQ5 当非均匀量子比特被孤立于单个位置而其余位置使用单位矩阵时，系统的周期性如何变化？

主要发现

• 对于同谱量子比特情形，本文通过时间演化算符的谱分析，将已知的哈达玛行走周期性结果推广至更一般情形。
• 在非同谱 $[C:1,I_2:m]$ 模型中，全系统的周期性完全由原点处单个一般量子比特 $ C $ 的本征值决定。
• 翻转对称行走的周期 $ T_n(U_n^{FF}) $ 为 $ Mn $，其中 $ M $ 为量子比特 $ C $ 的本征相位以最简分数形式表示时分母的最小公倍数。
• 对于满足 $ n \equiv 0 \pmod{m+1} $ 的 $[C:1,I_2:m]$ 模型，系统的周期随 $ m+1 $ 线性增长，具体为 $ T_n(U_n^{FF}) = (m+1)T_{n/(m+1)}^{FF} $，其中 $ T_{n/(m+1)}^{FF} $ 为使用量子比特 $ C $ 的均匀系统周期。
• 由于 $ U_n^{FF} $ 与 $ U_n^{MS}(\mathcal{C}_n\sigma_x) $ 之间存在谱等价性，FF 行走的周期性结果可由 MS 行走分析导出。
• 本文证明，此类系统中的周期性由量子比特本征值的代数结构决定，特别是其相对于 $ \pi $ 的有理化性质。