[论文解读] Periods and borders of random words

Štěpán Holub, Jeffrey Shallit|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

semigroups and automata theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文研究了在固定字母表上随机词的周期和边框长度的统计行为。利用基于 Fine 和 Wilf 定理及 FW-词结构的组合计数与递推关系，作者推导出精确的递推公式，以计算长度为 $ n $ 的随机词具有给定最大边框长度 $ r $ 的渐近概率。关键结果是，当 $ n \to \infty $ 时，最大边框长度的期望值 $ \alpha_\ell(n) $ 收敛于一个常数 $ \alpha_\ell $，对于二元词，有 $ \alpha_2 \approx 1.641 $。

ABSTRACT

We investigate the behavior of the periods and border lengths of random words over a fixed alphabet. We show that the asymptotic probability that a random word has a given maximal border length $k$ is a constant, depending only on $k$ and the alphabet size $\ell$. We give a recurrence that allows us to determine these constants with any required precision. This also allows us to evaluate the expected period of a random word. For the binary case, the expected period is asymptotically about $n-1.641$. We also give explicit formulas for the probability that a random word is unbordered or has maximum border length one.

研究动机与目标

• 量化长度为 $ n $ 的 $ \ell $-字母表上随机词具有给定最大边框长度 $ r $ 的渐近概率。
• 推导用于以任意精度计算期望最大边框长度 $ \alpha_\ell(n) $ 的递推关系。
• 评估随机词的期望最小周期，表明其为 $ n - \alpha_\ell(n) $，且 $ \alpha_\ell(n) = \mathcal{O}(1) $。
• 提供随机词无边框或最大边框长度为一的精确概率公式。
• 计算各种字母表大小 $ \ell $ 下的极限期望边框长度 $ \alpha_\ell $，包括 $ \alpha_2 \approx 1.641 $。

提出的方法

• 定义 $ \mathcal{G}_\ell(P,n) $ 为具有周期集合 $ P $ 的长度为 $ n $ 的词的集合，$ \mathcal{F}_\ell(P,n) $ 为最小周期恰好为 $ \min P $ 的词的集合，使用 FW-词构造法。
• 使用公式 $ G\_\ell(P,n) = \ell^{\mathfrak{c}(P,n)} $，其中 $ \mathfrak{c}(P,n) $ 是具有周期 $ P $ 的 FW-词所需的最小字母表大小，通过递归算法计算。
• 基于词的结构分解与边框性质，推导出具有最长边框长度 $ r $ 的词数的递推关系。
• 为序列 $ s(n) $（计数无边框词）建立函数方程与生成函数，从而导出 $ \lambda_\ell(1) $ 和 $ \alpha_\ell $ 的递推关系。
• 使用递推关系 $ v_n = \ell v_{n-1} - v_{\lfloor n/2 \rfloor} $（当 $ n $ 为奇数时），以及 $ v_n = \ell^2 v_{n-2} - v_{n/2} $（当 $ n $ 为偶数时），计算边框长度概率。
• 推导出生成函数 $ L_1(x) $，其满足方程 $ L_1(x) = \frac{x^2}{\ell(1-x)} + \frac{\ell - 1 - \ell/x}{1 - x} L_1\left(\frac{x^2}{\ell}\right) $，从而实现对 $ \lambda_\ell(r) $ 和 $ \alpha_\ell $ 的高精度计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 长度为 $ n $ 的 $ \ell $-字母表上随机词具有最大边框长度 $ r $ 的渐近概率是多少？
• RQ2 当 $ n \to \infty $ 时，期望最大边框长度 $ \alpha_\ell(n) $ 的行为如何？其极限值 $ \alpha_\ell $ 是多少？
• RQ3 随机二元词无边框或具有最大边框长度为一的精确概率是多少？
• RQ4 能否推导出一个递推关系，以任意精度计算随机词的期望周期？
• RQ5 长度为 $ n $ 的随机二元词的期望最小周期是多少？其与 $ n $ 的关系如何？

主要发现

• 长度为 $ n $ 的随机词具有最大边框长度 $ r $ 的渐近概率收敛于一个仅依赖于 $ r $ 和字母表大小 $ \ell $ 的常数 $ \lambda_\ell(r) $。
• 对于二元词（$ \ell = 2 $），最大边框长度的期望值渐近为 $ \alpha_2 \approx 1.64116491178296695613 $，因此期望最小周期为 $ n - 1.641 $。
• 随机二元词无边框的概率约为 $ 26.78\% $，具有最长边框长度为一的概率约为 $ 30.04\% $。
• 对于更大的字母表，期望边框长度 $ \alpha_\ell $ 减小：$ \alpha_3 \approx 0.6859 $，$ \alpha_4 \approx 0.4220 $，$ \alpha_5 \approx 0.3020 $，$ \alpha_{50} \approx 0.0208 $。
• 生成函数 $ L_1(x) $ 满足一个函数方程，可实现对 $ \lambda_\ell(1) $ 的高精度计算，且推导出级数表达式：$ L_1(1/\ell) = \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{\ell^{n+1}} \prod_{i=1}^{n} \frac{\ell^{2^{i-1}} - \ell + 1}{\ell^{2^i - 1} - 1} $。
• 递推关系 $ s(2n) = 1/\ell - \sum_{j=1}^{n} s(j) \ell^{-j} $ 可高效计算 $ \alpha_\ell $ 的数值结果，且由不等式 $ |\lambda_\ell(r,n+1) - \lambda_\ell(r,n)| \leq \ell^{-\lfloor n/2 \rfloor} $ 保证收敛性。