[论文解读] Periods and harmonic analysis on spherical varieties

Yiannis Sakellaridis, Akshay Venkatesh|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2012

Advanced Algebra and Geometry被引用 7

一句话总结

本文为非阿赋马德本地域上的球对称空间 $L^2(X)$ 构造了一个 Plancherel 公式，通过受 Gaitsgory 和 Nadler 启发的对偶群 $\check{G}_X$ 将谱分解与 Arthur 参数联系起来。该研究证明了 Ichino–Ikeda 和 Lapid–Mao 的猜想，并在相对 Langlands 程序的背景下提出了一个全局周期猜想。

ABSTRACT

Given a spherical variety X for a group G over a non-archimedean local field k, the Plancherel decomposition for L^2(X) should be related to "distinguished" Arthur parameters into a dual group closely related to that defined by Gaitsgory and Nadler. Motivated by this, we develop, under some assumptions on the spherical variety, a Plancherel formula for L^2(X) up to discrete (modulo center) spectra of its "boundary degenerations", certain G-varieties with more symmetries which model X at infinity. Along the way, we discuss the asymptotic theory of subrepresentations of C^{infty}(X), and establish conjectures of Ichino-Ikeda and Lapid-Mao. We finally discuss global analogues of our local conjectures, concerning the period integrals of automorphic forms over spherical subgroups.

研究动机与目标

• 通过一种新的对偶群构造，统一球对称空间上周期积分的局部与全局理论。
• 通过为球对称空间 $\mathbf{X}$ 关联一个对偶群 $\check{G}_X$，将 Langlands 程序推广到相对情形。
• 利用渐近分析与散射理论，证明局部 Ichino–Ikeda 与 Lapid–Mao 猜想。
• 提出一个全局周期猜想，将自守 $L$-函数与球对称子群上的周期积分联系起来。
• 利用 Bernstein 映射与散射理论，将 $L^2(X)$ 的谱分解至边界退化离散谱为止。

提出的方法

• 从球对称空间 $\mathbf{X}$ 的组合数据构造对偶群 $\check{G}_X$，并赋予一个特殊同态 $\check{G}_X \times \mathrm{SL}_2 \to \check{G}$，满足根空间约束条件。
• 利用边界退化——即具有增强对称性的 $\mathbf{G}$-空间，用于在无穷远处建模 $\mathbf{X}$——来分析 $C^\infty(X)$-子表示的渐近行为。
• 应用散射理论与直接积分分解，推导出 $L^2(X)$ 的 Plancherel 公式，至这些退化形式的离散谱为止。
• 利用 Bernstein 映射将谱分解与诱导表示的结构及空间的几何性质联系起来。
• 利用球对称空间及其组合不变量（颜色、赋值、根系）的理论，定义并计算对偶群 $\check{G}_X$。
• 在波前假设下，证明了特殊同态 $\check{G}_X \times \mathrm{SL}_2 \to \check{G}$ 的存在性，假设 Gaitsgory–Nadler 构造与抛物诱导及边界退化相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用自守 $L$-函数与对偶群来描述球对称空间 $\mathbf{X}$ 上 $L^2(X)$ 的谱分解？
• RQ2 与球对称空间 $\mathbf{X}$ 相关的正确对偶群 $\check{G}_X$ 是什么？它与标准 Langlands 对偶群 $\check{G}$ 有何关系？
• RQ3 能否通过球对称空间上的调和分析来证明局部 Ichino–Ikeda 与 Lapid–Mao 猜想？
• RQ4 边界退化如何建模 $L^2(X)$ 的渐近行为？它们如何用于谱分解？
• RQ5 局部周期猜想的全局类比是什么？它与 $L$-函数的特殊值有何关联？

主要发现

• 本文为球对称空间构造了对偶群 $\check{G}_X$，并配备了一个特殊同态 $\check{G}_X \times \mathrm{SL}_2 \to \check{G}$，该同态被猜想普遍存在，并在波前假设下得到证明。
• 利用散射理论与 Bernstein 映射，建立了 $L^2(X)$ 的局部 Plancherel 公式，至边界退化形式的离散谱为止。
• 通过 $C^\infty(X)$-子表示的渐近分析，证明了局部 Ichino–Ikeda 与 Lapid–Mao 猜想。
• 证明了 $L^2(X)$ 的谱分解与 $X$-区分的 Arthur 参数相关，其中对偶群 $\check{G}_X$ 编码了相关的自守 $L$-函数。
• 提出了一个全局周期猜想，将周期积分 $\int_{\mathbf{H}(k)\backslash\mathbf{H}(\mathbb{A}_k)} \varphi$ 与 $L$-函数的特殊值联系起来，推广了对称空间与 Gross–Prasad 情形中的已知结果。
• 对偶群 $\check{G}_X$ 的构造是有效且可计算的，并在秩一情形提供了显式例子，包括 $\mathrm{GL}_n$-空间的二次型（尽管这些情形被排除在对偶群框架之外）。