[论文解读] Periods, cycles, and $L$-functions: a relative trace formula approach

Wei Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一种相对迹公式方法，以连接自守周期、希米拉变体上的特殊循环以及L函数的中心值与导数值，从而将格罗斯–察吉尔和瓦尔德斯普鲁格的经典公式推广至更高秩情形。该研究证明了酉Rapoport–Zink空间上的算术基本引理猜想，并通过德林费尔德希图卡在函数域设定下建立了高阶格罗斯–察吉尔公式。

ABSTRACT

This is a report for the author's talk in ICM-2018. Motivated by the formulas of Gross--Zagier and Waldspurger, we review conjectures and theorems on automorphic period integrals, special cycles on Shimura varieties, and their connection to central values of L-functions and their derivatives. We focus on the global Gan--Gross--Prasad conjectures, their arithmetic versions and some variants in the author's joint work with Rapoport and Smithling. We discuss the approach of relative trace formulas and the arithmetic fundamental lemma conjecture. In the function field setting, Z. Yun and the author obtain a formula for higher order derivatives of L-functions in terms of special cycles on the moduli space of Drinfeld Shtukas.

研究动机与目标

• 通过相对迹公式将狄利克雷、格罗斯–察吉尔与瓦尔德斯普鲁格的经典公式推广至高秩自守L函数。
• 建立Rapoport–Zink空间上算术交点数与轨道积分导数之间的联系。
• 为p进域上的酉群提出并证明算术基本引理（AFL）猜想。
• 通过德林费尔德希图卡在函数域设定下将格罗斯–察吉尔公式推广至L函数的高阶导数。
• 为特殊循环及其交点理论提供几何解释，阐明其与L值及自守周期的关系。

提出的方法

• 利用相对迹公式，将球对称子群上的自守周期积分与L值联系起来。
• 应用算术基本引理（AFL）猜想，将特征函数的轨道积分与Rapoport–Zink空间上的算术交点数联系起来。
• 在德林费尔德希图卡形式模空间上运用导出交点理论，计算交点积。
• 通过结构层的导出张量积定义对角循环平移的交点数Int(g)。
• 在p进设定下应用球调和分析与轨道积分理论，将迹公式与L函数导数联系起来。
• 借助云在函数域中对AFL猜想的类比，推导出函数域设定下L函数的高阶格罗斯–察吉尔公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 格罗斯–察吉尔与瓦尔德斯普鲁格公式如何推广至高秩李群与自守L函数？
• RQ2 Rapoport–Zink空间上的算术交点数与L函数导数之间的确切关系为何？
• RQ3 算术基本引理（AFL）猜想在p进域上的酉群上在何种程度上成立？
• RQ4 L函数的高阶导数能否用德林费尔德希图卡模空间上的特殊循环表示？
• RQ5 相对迹公式在算术几何中如何将自守周期、特殊循环与L值联系起来？

主要发现

• 在n=2,3时，以及当p≥n/2+1时，对minuscule元素g∈G♭(F)成立，算术基本引理（AFL）猜想得证。
• 在条件p≥n/2+1下，对G♭(F)中的minuscule元素验证了AFL猜想，扩展了先前结果。
• 通过德林费尔德希图卡模空间上特殊循环的交点理论，在函数域设定下建立了高阶格罗斯–察吉尔公式。
• 通过恒等式ω(γ)∂Orb(γ,1_G′(O_F)) = −2·Int(g)·log q，证明轨道积分的导数∂Orb(γ,1_G′(O_F))与算术交点数Int(g)成比例。
• 在n=2,3时，结合Rapoport–Zink空间上的导出交点理论，证明了AFL猜想，并将其推广至G♭(F)中的minuscule元素，条件为p≥n/2+1。
• 云在函数域中对AFL猜想的类比，为L函数的高阶导数提供了以德林费尔德希图卡模空间上特殊循环表示的几何公式。