[论文解读] Periods of CY $n$-folds and mixed Tate motives, a numerical study

Wenzhe Yang|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文通过计算从 $n = 4$ 到 $12$ 的费马笔形卡拉比-丘 $n$-流形在大复结构极限下的极限混合霍奇结构的周期矩阵，为伽马猜想提供了数值证据。利用 Mathematica 进行数值计算，识别出周期矩阵中出现的更高黎曼 zeta 值 $\zeta(2k+1)$，并通过混合塔动机（mixed Tate motives）提供了动机解释，表明这些值作为 $\mathbb{Q}(0)$ 到 $\mathbb{Q}(2k+1)$ 的扩张在霍奇实现中的有理倍数出现。

ABSTRACT

In the mirror symmetry of Calabi-Yau threefolds, the instanton expansion of the prepotential has a constant term that is a rational multiple of $ζ(3)/(2 πi)^3$, the motivic origin of which has been carefully studied in the author's paper with M. Kim. The Gamma conjecture claims that higher zeta values in fact appear in the theory of Calabi-Yau $n$-folds for $n \geq 4$. Moreover, a natural question is whether they also have a motivic origin. In this paper, we will study the limit mixed Hodge structure (MHS) of the Fermat pencil of Calabi-Yau $n$-folds at the large complex structure limit, which is actually a mixed Hodge-Tate structure. We will compute the period matrix of this limit MHS for the cases where $n=4,5,6,7,8,9,10,11,12$ by numerical method, and our computations have shown the occurrence of higher zeta values, which provide evidence to the Gamma conjecture. Furthermore, we will also provide a motivic explanation to our numerical results.

研究动机与目标

• 研究伽马猜想所预测的，对于 $n \geq 4$ 的卡拉比-丘 $n$-流形，其周期中是否出现更高 zeta 值 $\zeta(2k+1)$。
• 为费马笔形卡拉比-丘 $n$-流形的极限混合霍奇结构的周期矩阵中出现 $\zeta(2k+1)$ 提供数值证据。
• 通过将这些 zeta 值与混合塔动机范畴中的扩张联系起来，探索其是否存在动机起源。
• 将数值结果推广至更高维卡拉比-丘 $n$-流形，并提出关于极限 MHS 结构的动机猜想。

提出的方法

• 基于费马笔形的皮卡-富克斯方程所导出的规范周期，利用 Mathematica 对 $n = 4$ 到 $12$ 的周期矩阵进行数值计算。
• 计算同调群 $H_n(\mathscr{X}_\psi, \mathbb{Q})$ 的有理基，以定义有理周期，进而构造周期矩阵。
• 应用弗罗贝尼乌斯方法求解与费马笔形相关的 $(n+1)$ 阶皮卡-富克斯微分方程，得到解的规范基。
• 识别在大复结构极限 $\psi = \infty$ 处的极限混合霍奇结构，其被证明为混合霍奇-塔结构。
• 利用从混合塔动机范畴 $\mathbf{TM}_{\mathbb{Q}}$ 到混合霍奇结构范畴 $\mathbf{MHS}_{\mathbb{Q}}$ 的霍奇实现函子 $\mathfrak{R}$，将动机扩张与周期联系起来。
• 构建极限 MHS 的周期矩阵，并通过与 $\mathbb{C}/(2\pi i)^{2k+1}\mathbb{Q}$ 的比较，分析其元素以检测 $\zeta(2k+1)$ 值的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n \geq 4$ 的卡拉比-丘 $n$-流形，其极限混合霍奇结构的周期矩阵中是否出现更高 zeta 值 $\zeta(2k+1)$？
• RQ2 周期矩阵中 $\zeta(2k+1)$ 的数值出现能否通过混合塔动机范畴中的动机起源加以解释？
• RQ3 费马笔形卡拉比-丘 $n$-流形在大复结构极限处的极限 MHS 是否为混合霍奇-塔结构？其是否允许动机分解？
• RQ4 在这些 $n$-流形的周期矩阵语境下，有理周期与规范周期之间有何关系？
• RQ5 周期矩阵的结构能否推广至任意单参数族的卡拉比-丘 $n$-流形（具有大复结构极限）？

主要发现

• 对 $n = 4$ 到 $12$ 的数值计算揭示了极限混合霍奇结构的周期矩阵中出现了更高 zeta 值 $\zeta(2k+1)$。
• 对于 $n = 4$，周期矩阵包含 $\zeta(3)$，与卡拉比-丘三流形中已知的动机起源一致。
• 对于 $n = 5$，周期矩阵包含 $\zeta(5)$；对于 $n = 6$，包含 $\zeta(7)$，表明周期矩阵中存在 $\zeta(2k+1)$（$k \geq 1$）的规律。
• 极限 MHS 的周期矩阵元素被发现具有 $r \cdot \zeta(2k+1)$ 和 $(2\pi i)^{2k+1}$ 的形式，其中 $r \in \mathbb{Q}$，与混合塔动机中扩张所预期的结构一致。
• $\zeta(2k+1)$ 的出现可通过 $\mathbf{TM}_{\mathbb{Q}}$ 中的扩张的霍奇实现来解释，其中 $\text{Ext}^1_{\mathbf{TM}_{\mathbb{Q}}}(\mathbb{Q}(0), \mathbb{Q}(2k+1))$ 映射到 $\mathbb{C}/(2\pi i)^{2k+1}\mathbb{Q}$ 中 $\zeta(2k+1)$ 的有理倍数。
• 本文提出一个动机猜想：极限 MHS 是某个混合塔动机 $\mathbf{M}_{\text{lim}}$ 的霍奇实现，其中纯动机 $h^n(\mathscr{X}_\varphi)$ 分解为阿贝尔部分与塔部分，而塔部分导致周期矩阵中出现 $\zeta(2k+1)$。