[论文解读] Periods of the discretized Arnold Cat Map and its extension to n dimensions

Joe Nance|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2011

Chaos-based Image/Signal Encryption参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文研究了二维离散Arnold猫映射（DCM）的周期动力学，并通过一种新颖的矩阵并集构造方法将其扩展至n维系统。研究证明，周期取决于模N下偶数索引的斐波那契数的可除性，且对于N ≥ 3，任一图像均不会在自身中稠密。n维DCM通过基映射迭代构建，特征值分析表明，由于主导特征值不断增强，高维映射表现出更强的混沌行为。

ABSTRACT

A discrete dynamical system known as Arnold's Discrete Cat Map (Arnold's DCM) is given by (x_t+1, y_t+1) = (x_t + y_t, x_t + 2y_t) mod N; which acts on a two-dimensional square coordinate grid of size Nx?N. The defining characteristic of this map is that it has the property that when the NxN grid is a picture whose pixels are assigned (x,y) coordinates, the map scrambles the picture with each iteration. After a finite number of iterations, the picture is restored to its original shape and order. The number of iterations M, needed to restore the image, has a mysterious dependence on N. This period, as we will find out, is directly related to the divisibility of the Fibonacci numbers. We will exploit this property to show that, for any N, an image is not dense in itself. In the second half of the paper, we build on the work of Chen, Mao, and Chui to extend the DCM to three dimensions. Finally, we define the generalized n dimensional DCM by introducing the idea of a "matrix union".

研究动机与目标

• 分析二维离散Arnold猫映射的周期及其与图像尺寸N的依赖关系。
• 证明对于N ≥ 3，任一N×N图像在DCM作用下均不会在自身中稠密。
• 通过一种新的矩阵并集运算，将二维DCM系统性地扩展至n维。
• 研究高维猫映射的动力学性质，特别是通过特征值分析揭示其混沌行为。

提出的方法

• 将二维DCM表示为模N下的矩阵变换，使用矩阵[[1,1],[1,2]]。
• 周期M定义为满足A^{2t} ≡ I mod N的最小t值，等价于求解u_{2t} ≡ 0 且 u_{2t-1} ≡ 1 mod N。
• 定义了一种矩阵并集运算⊗，通过在i-框架中插入元素，递归地从(n-1)维矩阵构建n维DCM矩阵。
• 通过矩阵并集构造基映射a_{n+1}^i，全n维矩阵A_{n+1}由所有此类基映射的乘积构成。
• 通过特征多项式与特征值分析n维映射的动力学行为，当无特征值等于1且至少一个特征值的绝对值大于1时，表明存在混沌轨道。
• 提出一个猜想：n维猫映射的主导特征值随维度增加而增大，暗示高维系统具有更强的混沌性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的N×N图像尺寸，是什么决定了二维离散Arnold猫映射的周期M？
• RQ2 为何对于N ≥ 3，DCM作用下的任一N×N图像均不会在自身中稠密？
• RQ3 如何系统性地将二维DCM扩展至n维？
• RQ4 n维DCM矩阵的特征值与其混沌动力学行为之间存在何种关系？
• RQ5 n维猫映射的主导特征值是否随维度增加而增大，从而暗示高维系统混沌性更强？

主要发现

• 二维DCM的周期M是满足第2t个斐波那契数被N整除且第(2t−1)个斐波那契数同余于1 mod N的最小t值。
• 对于任意N ≥ 3，DCM作用下的图像不会在自身中稠密，其证明基于模N下首个重复的斐波那契数对为(1,1)，意味着在完全覆盖前即出现周期性。
• n维DCM通过递归的矩阵并集运算构建，其中每个基映射固定一个坐标，全矩阵为所有此类映射的乘积。
• 4维DCM的特征多项式为λ⁴ - 562λ³ + 410λ² - 66λ + 1，主导特征值约为561.27，表明存在强烈的拉伸与混沌行为。
• n维DCM矩阵的特征值中无等于1的特征值，且至少有一个特征值的绝对值大于1，满足混沌轨道的条件。
• 本文提出猜想：n维DCM的主导特征值随n增加而增大，暗示高维猫映射比低维映射更具混沌性。