[论文解读] Permutation complexity of images of Sturmian words by marked morphisms

Narad Rampersad, Adam Borchert|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2018

semigroups and automata theory参考文献 7被引用 2

一句话总结

本文证明，Sturmian词在二元标记同态下的置换复杂度渐近线性，具体为 n + k（k 为某常数，且对所有充分大的 n 成立）。该结果通过符号动力学中同态像与置换熵的组合分析推导得出，表明标记同态在 Sturmian 序列中保持低复杂度结构。

ABSTRACT

We show that the permutation complexity of the image of a Sturmian word by a binary marked morphism is $n+k$ for some constant $k$ and all lengths $n$ sufficiently large. Comment: 9 pages

研究动机与目标

• 研究二元标记同态下 Sturmian 词的同态像的置换复杂度。
• 确定此类像是否保持低复杂度，特别是其置换复杂度是否随长度线性增长。
• 为足够长的词建立置换复杂度的精确渐近界。
• 扩展对同态如何影响非周期序列组合复杂度的理解。

提出的方法

• 利用同态的组合性质分析 Sturmian 词及其在二元标记同态下的像的结构。
• 应用置换复杂度的概念，定义为给定长度子串的不同排列数。
• 利用标记同态在无限词中保持某些平衡性和因子结构的事实。
• 证明在像中长度为 n 的不同排列数对所有充分大的 n 恰好为 n + k。
• 利用关于 Sturmian 序列及其同态像的已知结果来界定置换复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sturmian 词在二元标记同态下的像的置换复杂度是否随长度线性增长？
• RQ2 是否对所有充分大的 n，其置换复杂度可被 n + k（k 为某常数）所界定？
• RQ3 标记同态的结构性质如何影响其像的置换复杂度？
• RQ4 同态在何种程度上保持了 Sturmian 序列在置换模式方面的低复杂度特性？

主要发现

• Sturmian 词在二元标记同态下的像的置换复杂度对所有充分大的 n 和某常数 k 恰好为 n + k。
• 该结果证实，此类同态像保持了线性置换复杂度，表明在同态作用下具有结构稳定性。
• 常数 k 取决于特定的标记同态，但对大 n 与 n 无关。
• 分析证实，Sturmian 词的低复杂度特性在应用标记同态后，其置换模式方面仍得以保持。