[论文解读] Permutation Groups with a Cyclic Two-Orbits Subgroup and Monodromy Groups of Siegel Functions

Peter Mueller|ArXiv.org|Oct 5, 2001

Finite Group Theory Research参考文献 39被引用 9

一句话总结

本文分类了包含具有恰好两个轨道的循环子群的有限本原置换群，拓展了群论中的经典结果，并通过Siegel关于整点的定理将其与算术联系起来。研究证明，具有无穷多个整数值的有理函数（即Siegel函数）的单值群仅限于特定的有限单群，从而可对希尔伯特不可约性定理进行精细化，为非交错群、非循环伽罗瓦群提供明确的例外情况。

ABSTRACT

We classify the finite primitive permutation groups which have a cyclic subgroup with two orbits. This extends classical topics in permutation group theory, and has arithmetic consequences. By a theorem of C. L. Siegel, affine algebraic curves with infinitely many integral points are parametrized by rational functions whose monodromy groups have this property. We classify the possibilities of these monodromy groups, and give an application to Hilbert's irreducibility theorem.

研究动机与目标

• 分类包含具有恰好两个轨道的循环子群的有限本原置换群，推广关于传递循环子群的经典结果。
• 确定哪些群可作为具有无穷多个整数值的有理函数（即Siegel函数）的单值群。
• 将分类结果应用于希尔伯特不可约性定理，特别针对伽罗瓦群为非交错群、非循环群的不可约多项式。
• 确定在ℚ上，Siegel函数的伽罗瓦群中可能出现的非交换合成因子的精确集合。
• 提供ℚ上具有无穷多个整数特化的有理函数的所有可能伽罗瓦群的完整列表。

提出的方法

• 使用Aschbacher–O’Nan–Scott定理将本原置换群分解为其结构类型：仿射型、乘积型、正则型、对角型、几乎单型，以及经典/例外型群。
• 分析每类群中具有两个轨道的循环子群的作用，利用轨道长度约束及群论性质（如极大性与元素阶数）。
• 应用亏格0系统与分支循环描述，确定哪些群可作为具有指定单值群的有理函数在k(t)上的伽罗瓦群。
• 利用Siegel–Lang定理及有理函数的算术性质，将可能的单值群限制为具有亏格0覆盖且仅有有限多个极点的群。
• 使用计算代数与数论技术，通过证明其对应的二次型无有理点，验证某些ℚ(t)上的12次扩张并非有理函数域。
• 通过分析伽罗瓦群在根上的作用并识别哪些非交换合成因子在特化下强制不可约性，将分类结果应用于希尔伯特不可约性定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限本原置换群包含具有恰好两个轨道的循环子群？它们能否被完全分类？
• RQ2 这些群中哪些可作为在数域k上取无穷多个整数值的有理函数g(Z) ∈ k(Z)的单值群？
• RQ3 当g(Z)是ℚ上的Siegel函数时，g(Z) − t在ℚ(t)上的伽罗瓦群的可能非交换合成因子是什么？
• RQ4 此类单值群的存在如何影响ℚ(t)上不可约多项式的特化行为？
• RQ5 哪些有限单群可作为在几乎所有整数特化下仍保持不可约的ℚ(t)上不可约多项式的伽罗瓦群？

主要发现

• 在数域k上，Siegel函数的单值群仅具有有限列表中的非交换合成因子：交错群A_j（j ≥ 5），PSL₂(7)，PSL₂(8)，PSL₂(11)，PSL₂(13)，PSL₃(3)，PSL₃(4)，PSL₄(3)，PSL₅(2)，PSL₆(2)，M₁₁，M₁₂，M₂₂，M₂₃，M₂₄。
• 在ℚ上，此类单值群的唯一可能非交换合成因子为交错群A_j（j ≥ 5）以及PSL₂(7)，PSL₂(8）。
• 若f(t,X)在ℚ(t)上的伽罗瓦群为非同构于交错群或C₂的单群，则对所有但有限多个ẃ ∈ ℤ，f(ṫ,X)在ℚ上仍保持不可约。
• 对于ℚ(Z)中具有无穷多个整数值的有理函数g(Z)，其在ℚ(t)上g(Z) − t的关联伽罗瓦群不能包含某些例外有限单群作为合成因子，如PSL₂(11)，PSL₃(3)等。
• 构造了显式的12次多项式F(X,t)，其在ℚ(t)上的分裂域并非有理函数域，原因在于其关联二次型无有理点，从而确认了其非有理性。