[论文解读] Permutations with given peak set

Sara Billey, Krzysztof Burdzy+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 18

一句话总结

本文研究具有指定峰集的排列，证明对于任意固定的峰集 $ S $，其在 $ n $-排列中具有峰集 $ S $ 的排列数渐近为 $ p(n) \cdot 2^{n - \#S - 1} $，其中 $ p(n) $ 是依赖于 $ S $ 的 $ n $ 的多项式。主要贡献在于给出了具有给定峰集的排列的精确多项式时间计数公式，明确计算了多种 $ S $ 的 $ p(n) $，包括 $ S $ 依赖于 $ n $ 的情形，并提出了关于系数非负性及峰集最大化的猜想。

ABSTRACT

Let Sym_n denote the symmetric group of all permutations pi = a_1...a_n of {1,...,n}. An index i is a peak of pi if a_{i-1} < a_i > a_{i+1} and we let P(pi) be the set of peaks of pi. Given any set S of positive integers we define P(S;n) to be the set pi in Sym_n with P(pi)=S. Our main result is that for all fixed subsets of positive integers S and all sufficiently large n we have #P(S;n)= p(n) 2^{n-#S-1} for some polynomial p(n) depending on S. We explicitly compute p(n) for various S of probabilistic interest, including certain cases where S depends on n. We also discuss two conjectures, one about positivity of the coefficients of the expansion of p(n) in a binomial coefficient basis, and the other about sets S maximizing #P(S;n) when #S is fixed.

研究动机与目标

• 刻画 $ \mathfrak{S}_n $ 中具有固定峰集 $ S $ 的排列数，其中峰是指满足 $ a_{i-1} < a_i > a_{i+1} $ 的索引 $ i $。
• 建立对于任意固定的可行峰集 $ S $，此类排列数的增长形式为 $ p(n) \cdot 2^{n - \#S - 1} $，其中 $ p(n) $ 是 $ n $ 的多项式。
• 明确计算各种峰集 $ S $ 的峰多项式 $ p(n) $，包括具有概率意义的集合以及依赖于 $ n $ 的某些集合。
• 研究两个猜想：其一为当 $ p(n) $ 展开为二项式系数基时，其系数的非负性；其二为在 $ \#S $ 固定时，哪个 $ S $ 最大化 $ \#P(S;n) $。

提出的方法

• 利用归纳法和基于最小元素（1）位置的排列递归分解，推导出主要计数公式。
• 定义 $ n $-可实现性，以确保给定集合 $ S $ 可在某个 $ \mathfrak{S}_n $ 中作为峰集出现。
• 应用组合分解：对于 $ \pi \in P(S;n) $，其结构受每个峰周围元素相对顺序的约束，从而通过子集选择实现递归计数。
• 对特定 $ S $ 明确计算 $ p(n) $，包括 $ S = \emptyset $、$ S = \{m\} $、$ S = \{2,m\} $ 和 $ S = \{2,m,n-1\} $，使用二项式系数和情形分析。
• 将方法扩展至同时具有峰和谷的排列，定义 $ PV(S;n) $，并证明 $ \#PV(S;n) = q(n) $，其中 $ q(n) $ 是次数为 $ \max S - 1 $ 的多项式。
• 利用已知递推关系（如 David 和 Barton 的 $ f(s,n) $ 递推）验证主公式，并为小峰数情形推导出显式闭式解。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的峰位置集合 $ S $，$ \mathfrak{S}_n $ 中具有峰集 $ S $ 的排列数的精确渐近增长率是多少？
• RQ2 此类排列数是否可表示为 $ p(n) \cdot 2^{n - \#S - 1} $，其中 $ p(n) $ 是 $ n $ 的多项式？若是，如何显式计算 $ p(n) $？
• RQ3 峰多项式 $ p(n) $ 的结构如何？当其在二项式系数基下展开时，其系数是否保持非负？
• RQ4 在 $ \#S $ 固定时，哪个峰集 $ S $ 最大化 $ \#P(S;n) $？
• RQ5 该方法如何扩展至同时具有峰和谷的排列？其结果的计数公式是什么？

主要发现

• 对于任意固定的可行峰集 $ S = \{i_1 < \cdots < i_s\} $，$ \mathfrak{S}_n $ 中具有峰集 $ S $ 的排列数为 $ \#P(S;n) = p(n) \cdot 2^{n - \#S - 1} $，其中 $ p(n) $ 是次数为 $ i_s - 1 $ 的多项式。
• 峰多项式 $ p(n) $ 是整值多项式，且当 $ S = \emptyset $ 时，有 $ \#P(\emptyset;n) = 2^{n-1} $，对应 $ p(n) = 1 $。
• 当 $ S = \{m\} $ 时，峰多项式为 $ p(n) = \binom{n-1}{m-1} $，故 $ \#P(\{m\};n) = \binom{n-1}{m-1} \cdot 2^{n - 2} $。
• 当 $ S = \{2,m\} $ 时，峰多项式为 $ p(n) = \binom{n-2}{m-2} + (m-2)\binom{n-1}{m-1} $，因此 $ \#P(\{2,m\};n) = \left[ \binom{n-2}{m-2} + (m-2)\binom{n-1}{m-1} \right] \cdot 2^{n - 3} $。
• 当 $ S = \{2,m,n-1\} $ 时，峰多项式为 $ p(n) = 2(n-1)\left[ \binom{n-4}{m-2} + (m-2)\binom{n-3}{m-1} \right] $，故 $ \#P(\{2,m,n-1\};n) = p(n) \cdot 2^{n - 4} $。
• 本文验证了具有恰好一个峰的排列数的已知公式 $ f(1,n) = 2^{2n-3} - n \cdot 2^{n-2} $ 可由主定理及所计算的峰多项式推出。