[论文解读] Permutations with restricted patterns and Dyck paths

Christian Krattenthaler|ArXiv.org|Feb 24, 2000

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文建立了132-避免排列与Dyck路径之间的直接双射，使得模式避免排列的生成函数可通过Motzkin路径和Dyck路径的已知结果转化为连分数和切比雪夫多项式。关键贡献是基于此组合对应关系，对大小为 $ n $ 且恰好包含 $ r $ 个 $ 12\dots k $ 模式的132-避免排列的数量给出了精确的渐近估计。

ABSTRACT

We exhibit a bijection between 132-avoiding permutations and Dyck paths. Using this bijection, it is shown that all the recently discovered results on generating functions for 132-avoiding permutations with a given number of occurrences of the pattern $12... k$ follow directly from old results on the enumeration of Motzkin paths, among which is a continued fraction result due to Flajolet. As a bonus, we use these observations to derive further results and a precise asymptotic estimate for the number of 132-avoiding permutations of $\{1,2,...,n\}$ with exactly $r$ occurrences of the pattern $12... k$. Second, we exhibit a bijection between 123-avoiding permutations and Dyck paths. When combined with a result of Roblet and Viennot, this bijection allows us to express the generating function for 123-avoiding permutations with a given number of occurrences of the pattern $(k-1)(k-2)... 1k$ in form of a continued fraction and to derive further results for these permutations.

研究动机与目标

• 建立132-避免排列与Dyck路径之间的组合双射，以统一并简化模式避免排列生成函数的分析。
• 证明132-避免排列在固定出现次数 $ 12\dots k $ 模式下的生成函数可由Motzkin路径的已知结果推导得出。
• 为 $ \{1,2,\dots,n\} $ 中恰好包含 $ r $ 个 $ 12\dots k $ 模式的132-避免排列的数量提供精确的渐近估计。
• 通过构建123-避免排列与Dyck路径之间的双射，并结合Roblet与Viennot关于Dyck路径计数的结果，将该方法扩展至123-避免排列。

提出的方法

• 定义一个映射 $ \Phi $，通过从左到右读取132-避免排列的元素，并根据其右侧较大元素的数量添加上行步与下行步，从而构造出Dyck路径。
• 利用Dyck路径与Motzkin路径之间的已知对应关系，应用Flajolet的Motzkin路径生成函数的连分数结果。
• 将恰好包含 $ r $ 个 $ 12\dots k $ 模式的132-避免排列的生成函数表示为涉及第二类切比雪夫多项式的有理函数。
• 利用123-避免排列与Dyck路径之间的双射，结合Roblet与Viennot关于按峰和非峰下行步加权的Dyck路径的连分数公式。
• 应用转移矩阵法与基于行列式的路径图上的行走生成函数，推导加权路径计数的闭式表达。
• 使用倒多项式变换 $ p^*(x) = x^n p(1/x) $，将生成函数表示为正交多项式与连分数的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以闭式表达恰好包含 $ r $ 个 $ 12\dots k $ 模式的132-避免排列的生成函数？
• RQ2 大小为 $ n $ 且恰好包含 $ r $ 个 $ 12\dots k $ 模式的132-避免排列的数量的渐近增长速率是什么？
• RQ3 能否构造123-避免排列与Dyck路径之间的双射，其与现有双射的关系如何？
• RQ4 Dyck路径的连分数生成函数如何转化为特定模式出现次数的123-避免排列的生成函数？

主要发现

• 恰好包含 $ r $ 个 $ 12\dots k $ 模式的132-避免排列的生成函数被显式地用第二类切比雪夫多项式表示。
• 为 $ \{1,2,\dots,n\} $ 中恰好包含 $ r $ 个 $ 12\dots k $ 模式的132-避免排列的数量导出了精确的渐近估计，且在 $ n \to \infty $ 时成立。
• 构造了一种新的123-避免排列与Dyck路径之间的双射，其不同于Simion–Schmidt双射。
• 利用Roblet与Viennot的结果，将恰好包含 $ (k-1)(k-2)\dots 1k $ 模式的123-避免排列的生成函数表示为连分数。
• 展示了涉及连分数与切比雪夫多项式的生成函数之间的联系，其根本源于Dyck路径的计数。
• 本文通过Dyck路径框架重新发现并扩展了所有关于132-避免与123-避免排列中受限模式计数的先前结果。