[论文解读] Permutons, meanders, and SLE-decorated Liouville quantum gravity

Jacopo Borga, Ewain Gwynne+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2022

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 5

一句话总结

本文引入了一类从Liouville量子重力（LQG）面上的填充空间SLE曲线导出的随机排列测度，包括偏斜布朗运动排列测度和链环排列测度。证明了收敛到这些排列测度的排列中，最长递增子序列（LIS）为次线性，其支撑的Hausdorff维数为一，并建立了重根不变性，以及利用LQG相关函数和SLE击中概率推导出模式密度的公式。

ABSTRACT

We study a class of random permutons which can be constructed from a pair of space-filling Schramm-Loewner evolution (SLE) curves on a Liouville quantum gravity (LQG) surface. This class includes the skew Brownian permutons introduced by Borga (2021), which describe the scaling limit of various types of random pattern-avoiding permutations. Another interesting permuton in our class is the meandric permuton, which corresponds to two independent SLE$_8$ curves on a $γ$-LQG surface with $γ= \sqrt{\frac13 \left( 17 - \sqrt{145} ight)}$. Building on work by Di Francesco, Golinelli, and Guitter (2000), we conjecture that the meandric permuton describes the scaling limit of uniform meandric permutations, i.e., the permutations induced by a simple loop in the plane which crosses a line a specified number of times. We show that for any sequence of random permutations which converges to one of the above random permutons, the length of the longest increasing subsequence is sublinear. This proves that the length of the longest increasing subsequence is sublinear for Baxter, strong-Baxter, and semi-Baxter permutations and leads to the conjecture that the same is true for meandric permutations. We also prove that the closed support of each of the random permutons in our class has Hausdorff dimension one. Finally, we prove a re-rooting invariance property for the meandric permuton and write down a formula for its expected pattern densities in terms of LQG correlation functions (which are known explicitly) and the probability that an SLE$_8$ hits a given set of points in numerical order (which is not known explicitly). We conclude with a list of open problems.

研究动机与目标

• 定义并分析一类从Liouville量子重力（LQG）面上一对填充空间SLE曲线构造的新随机排列测度类。
• 建立收敛到这些排列测度的排列中，最长递增子序列（LIS）为次线性，扩展至Baxter、强Baxter、半Baxter以及猜想中的链环排列。
• 证明该类中每个排列测度的闭支撑的Hausdorff维数为一。
• 为链环排列测度建立重根不变性，并推导其期望模式密度的公式，该公式以LQG相关函数和SLE击中概率表示。
• 猜想链环排列测度是均匀链环排列的缩放极限，并提出关于平面图中哈密顿圈的直接构造与缩放极限的开放问题。

提出的方法

• 通过在γ-LQG面上耦合两条填充空间SLE曲线来构造随机排列测度，其中γ的选择使得SLE曲线为SLE₈与SLE₈，且具有特定参数关系。
• 利用LQG度量和量子面积测度，将排列测度定义为从SLE曲线导出的时间编码映射下勒贝格测度的前推。
• 应用SLE与LQG理论的结果，包括在猜想的缩放极限下，均匀链环排列收敛到链环排列测度。
• 通过分析排列测度中的单调集并利用SLE曲线为填充且联合连续的性质，证明LIS的次线性性。
• 通过证明LQG度量满足特定体积增长估计并使用覆盖论证，建立支撑的Hausdorff维数为一。
• 通过利用SLE₈的共形不变性与马氏性质，以及LQG测度在SLE曲线时间反转下的不变性，证明重根不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 链环排列测度是否为均匀链环排列的缩放极限，即由一条简单闭合曲线以固定次数穿越一条直线所诱导的排列？
• RQ2 收敛到链环排列测度的排列中，最长递增子序列的长度是否为次线性？该结论是否可推广至Baxter、半Baxter与强Baxter排列？
• RQ3 由SLE装饰LQG构造的排列测度的闭支撑的Hausdorff维数是多少？能否证明其恰好为一？
• RQ4 链环排列测度是否满足类似于偏斜布朗运动排列测度的重根不变性？
• RQ5 链环排列测度中给定模式的期望密度能否用LQG相关函数和SLE₈按指定顺序击中一系列点的概率来表达？

主要发现

• 任何收敛到本研究类中排列测度的排列序列，其最长递增子序列（LIS）的长度在排列大小上为次线性。
• 该类中每个排列测度的闭支撑的Hausdorff维数恰好为一，通过LQG度量估计与覆盖论证得以确立。
• 链环排列测度满足重根不变性，即其分布关于底层SLE曲线的时间反转保持不变。
• 推导出链环排列测度中期望模式密度的公式，该公式以LQG相关函数和SLE₈按指定顺序击中一系列点的概率表示。
• 本文猜想链环排列测度是均匀链环排列的缩放极限，依据其与完全填充O(n×m)环模型的联系及数值证据。
• 结果可推广至偏斜布朗运动排列测度及其他SLE装饰LQG排列测度，表明存在一大类具有次线性LIS与一维支撑的随机排列测度。