[论文解读] Perron's method for viscosity solutions of semilinear path dependent PDEs

Zhenjie Ren|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文利用Perron方法证明了非线性路径相关PDE的粘性解的存在性，表明所有粘性次解的上确界构成一个粘性解。文章提出了一种新颖的半连续粘性解正则化技术，并证明了比较原理，从而为非线性期望下的最优停时问题提供了新的简洁证明。

ABSTRACT

This paper proves the existence of viscosity solutions of path dependent semilinear PDEs via Perron's method, i.e. via showing that the supremum of viscosity subsolutions is a viscosity solution. We use the notion of viscosity solutions introduced by Ekren, Keller, Touzi and Zhang, in whose work all smooth processes which are tangent in mean are considered as test functions. We also provide a comparison result for semicontinuous viscosity solutions, by using a regularization technique. As an interesting byproduct, we give a new short proof for the optimal stopping problem with semicontinuous obstacles.

研究动机与目标

• 通过基于PDE的方法而非倒向SDE，建立半线性路径相关PDE的粘性解的存在性。
• 将比较原理推广至半连续粘性解，这对Perron方法至关重要。
• 开发一种新型正则化技术，保持粘性次解性质的同时确保函数连续性。
• 为非线性期望下具有半连续障碍物的最优停时问题，提供一个简短且自包含的证明。
• 通过引入一种新颖的正则化方法，为未来对完全非线性路径相关PDE的分析奠定基础。

提出的方法

• 通过取所有粘性次解的逐点上确界，应用Perron方法构造候选解。
• 基于路径上的反向距离提出一种新型正则化技术，将半连续粘性次解平滑为连续函数。
• 采用一种保持粘性次解性质并确保收敛至原函数的正则化方法。
• 利用Skorokhod分解的最小条件，推导出具有半连续障碍物的最优停时结果的新简化证明。
• 通过正则化方法，建立上半连续粘性次解与下半连续粘性超解之间的比较结果。
• 依赖于文献[9]中引入的粘性解定义，即通过在均值意义下与光滑测试函数相切的测试函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Perron方法能否成功应用于构造半线性路径相关PDE的粘性解？
• RQ2 在路径相关设定下，半连续粘性解是否满足比较原理？
• RQ3 能否构造一种正则化技术，在保持粘性次解性质的同时使函数连续？
• RQ4 在非线性期望下，具有半连续障碍物的最优停时问题能否通过PDE方法求解？
• RQ5 所开发的正则化技术能否推广至路径相关PDE的完全非线性情形？

主要发现

• 所有粘性次解的上确界构成一个粘性解，从而在路径相关设定下通过Perron方法确立了解的存在性。
• 基于路径上反向距离的新型正则化技术保持了粘性次解性质，同时确保了连续性与收敛性。
• 通过所提出的正则化方法，证明了半连续粘性解的比较原理，从而支持Perron方法的应用。
• 为非线性期望下具有半连续障碍物的最优停时问题，提供了一种新且简洁的证明，利用了Skorokhod分解的最小条件。
• 证明了该正则化技术在给定非线性期望下具有连续性与稳定性，收敛性通过命中时间的期望建立。
• 该方法为构造粘性解提供了一种基于PDE的替代方案，尤其在倒向SDE不可用的完全非线性情形下具有重要价值。