[论文解读] Persistence approximation property and controlled operator K-theory

Hervé Oyono‐Oyono, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文引入了滤子C*-代数的定量K-理论中的持久近似性质（PAP），并证明了满足带系数的Baum-Connes猜想的半直积C*-代数中，PAP一致成立。关键贡献在于表明，当基础空间粗等距嵌入希尔伯特空间时，PAP可推出有限生成群的Novikov猜想，通过受控装配映射将问题约化为有限维线性代数。

ABSTRACT

In this paper, we introduce and study the persistence approximation property for quantitative K-theory of filtered C*-algebras. In the case of crossed product C*-algebras, the persistence approximation property follows from the Baum–Connes conjecture with coefficients. We also discuss some applications of the quantitative K-theory to the Novikov conjecture.

研究动机与目标

• 在滤子C*-代数的定量K-理论中定义并研究持久近似性质（PAP）
• 在带系数的Baum-Connes猜想成立的条件下，证明PAP对半直积C*-代数成立
• 通过粗几何与几何装配映射，将PAP与Novikov猜想联系起来
• 在具有有界几何的群的情形下，将Novikov猜想问题约化为有限维线性代数问题

提出的方法

• 将定量K-理论群Kε,r∗(A)定义为滤子C*-代数A的K∗(A)的近似
• 将PAP定义为一致收敛性：一个元素在K∗(A)中为零当且仅当在某个Kε′,r′∗(A)中为零，其中ε′ ≥ ε且r′ ≥ r
• 为具有有界几何的离散度量空间Σ，构造取值于Kε,r∗(A⊗K(ℓ2(Σ)))的定量局部粗装配映射νε,r,dΣ,A,∗
• 引入一个几何装配映射ν∞Σ,A,∗，并证明其双射性等价于(GΣ, AC0(Σ))的Baum-Connes猜想
• 使用群胚方法，将ν∞Σ,A,∗的目标与半直积的K-理论联系起来
• 证明：若有限子集上定量陈述的一致性成立，则粗Baum-Connes猜想成立，从而推出群的Novikov猜想

实验结果

研究问题

• RQ1 由群作用产生的滤子C*-代数中，持久近似性质是否一致成立？
• RQ2 持久近似性质能否用于推导有限生成群的Novikov猜想？
• RQ3 粗几何与受控装配映射在建立PAP中起什么作用？
• RQ4 几何装配映射ν∞Σ,A,∗与群胚的Baum-Connes猜想有何关系？
• RQ5 在何种几何条件下（如粗等距嵌入希尔伯特空间）PAP成立？

主要发现

• 当Γ满足带系数的Baum-Connes猜想并具有cocompact的适当作用的普遍空间时，PAP对约化半直积A ⋊r Γ成立
• 对于具有有界几何的离散度量空间Σ，A⊗K(ℓ2(Σ))的PAP等价于几何装配映射ν∞Σ,A,∗的双射性
• 若Σ粗等距嵌入希尔伯特空间，则[8, 第6.2节]中的定量陈述在有限子集上一致成立，从而推出粗Baum-Connes猜想
• 若有限子集上定量陈述一致成立，且在希尔伯特空间中粗等距嵌入，则有限生成群Γ的Novikov猜想成立
• 问题可约化为有限维线性代数：几何装配映射与K-理论计算在有限维情形下变得可处理