[论文解读] Persistence, coexistence and extinction in two species chemotaxis models on bounded heterogeneous environments

Tahir Bachar Issa, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文在具有异质性、时变与空变的逻辑斯蒂项下，建立了双物种化学趋化系统中的全局存在性、有界性、持久性、共存与灭绝动力学。通过新颖的比较原理与李雅普诺夫型分析，证明了当趋化性相对于逻辑斯蒂阻尼较弱时，两种物种可持久共存，或一种物种灭绝而另一种达到其容纳量，将经典竞争理论扩展至具有环境异质性的趋化设定。

ABSTRACT

In this paper, we consider a two species chemotaxis system of parabolic-parabolic-elliptic type with Lotka-Volterra type competition terms in heterogeneous media. We first find various conditions on the parameters which guarantee the global existence and boundedness of classical solutions with nonnegative initial functions. Next, we find further conditions on the parameters which establish the persistence of the two species. Then, under the same set of conditions for the persistence of two species, we prove the existence of coexistence states. Finally we prove the extinction phenomena in the sense that one of the species dies out asymptotically and the other reaches its carrying capacity as time goes to infinity. The persistence in general two species chemotaxis systems is studied for the first time. Several important techniques are developed to study the persistence and coexistence of the two species chemotaxis systems. Many existing results on the persistence, coexistence, and extinction on two species competition systems without chemotaxis are recovered.

研究动机与目标

• 分析具有时空异质环境的双物种趋化系统中长期动力学——持久性、共存与灭绝。
• 将经典双物种竞争理论扩展至包含对共享化学信号趋化运动的情形。
• 建立确保经典解全局存在性与有界性的模型参数充分条件。
• 在持久性条件下证明共存态的存在性，并刻画一种物种渐近灭绝的场景。

提出的方法

• 为具有异质系数的抛物-抛物-椭圆趋化系统开发了新颖的比较原理。
• 应用李雅普诺夫型泛函与能量估计以控制解的增长并确保有界性。
• 利用时空中依赖系数的下确界与上确界估计，推导持久性准则。
• 在持久性条件下，通过施瓦茨的不动点定理证明共存态的存在性。
• 采用渐近分析与收敛性论证，证明长期极限下的灭绝行为。
• 利用椭圆比较原理将解与稳态近似进行比较，以验证长期行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有异质性、时变与空变的逻辑斯蒂项的双物种趋化系统中，两种物种在何种条件下可持久存在？
• RQ2 此类系统中共存态存在的条件是什么？其存在性的必要与充分条件为何？
• RQ3 是否可能发生一种物种灭绝而另一种达到其容纳量的情况？在何种参数区域内会发生这种情况？
• RQ4 与经典非趋化模型相比，趋化性如何影响竞争结果？
• RQ5 环境异质性在决定持久性或灭绝结果方面起何种作用？

主要发现

• 当趋化性效应相对于逻辑斯蒂阻尼足够小时，经典解的全局存在性与有界性得以保证，即当 $ \chi_i \ll d_3 $ 且 $ a_{1,\inf} > \chi_1 k / d_3 $，$ b_{2,\inf} > \chi_2 l / d_3 $ 时。
• 在确保内在增长率超过竞争与趋化漂移共同效应的条件下，可确立双物种的持久性，特别是当 $ b_{0,\inf}(a_{1,\inf} - \chi_1 k / d_3) > (b_{1,\sup} - k\chi_2/d_3)_+ a_{0,\sup} + \text{修正项} $ 时。
• 在相同持久性条件下，共存态存在，其存在性通过作用于稳态系统的不动点论证得以证明。
• 当一种物种被竞争淘汰时发生灭绝：若 $ u \to 0 $，则 $ v \to v^* $，即物种 $ v $ 的容纳量，条件为 $ b_{0,\inf}(b_{2,\inf} - \chi_2 l / d_3) > \text{涉及 } a_{0,\sup} \text{的主导项} $。
• 当趋化性消失（即 $ \chi_1 = \chi_2 = 0 $）时，系统恢复经典双物种竞争结果（持久性、共存、灭绝），验证了与先前理论的一致性。
• 分析表明，趋化性可能破坏共存，但在趋化敏感性较弱时，系统仍保持与非趋化模型相同的长期动力学。