[论文解读] Persistence of Activity in Threshold Contact Processes, an

Shirshendu Chatterjee, Rick Durrett|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2009

Gene Regulatory Network Analysis被引用 6

一句话总结

该论文研究了在具有入度 r 的随机图上，通过修改的随机布尔网络建模基因调控网络的阈值接触过程中的活动持久性。证明当 r ≥ 3 且 r·2p(1−p) > 1 时，活动至少持续 exp(cn^b(p)) 时间，其中当 (r−1)·2p(1−p) > 1 时 b(p) = 1，表明底层布尔网络中存在混沌动力学。

ABSTRACT

We consider a model for gene regulatory networks that is a modification of Kauffmann's (1969) random Boolean networks. There are three parameters: $n =$ the number of nodes, $r =$ the number of inputs to each node, and $p =$ the expected fraction of 1's in the Boolean functions at each node. Following a standard practice in the physics literature, we use a threshold contact process on a random graph on $n$ nodes, in which each node has in degree $r$, to approximate its dynamics. We show that if $r\ge 3$ and $r \cdot 2p(1-p)>1$, then the threshold contact process persists for a long time, which correspond to chaotic behavior of the Boolean network. Unfortunately, we are only able to prove the persistence time is $\ge \exp(cn^{b(p)})$ with $b(p)>0$ when $r\cdot 2p(1-p)> 1$, and $b(p)=1$ when $(r-1)\cdot 2p(1-p)>1$.

研究动机与目标

• 理解作为具有阈值动力学的随机布尔网络建模的基因调控网络中活动的持久性。
• 将具有入度 r 的随机图上的阈值接触过程作为网络动力学的近似进行分析。
• 确定系统表现出长期、混沌行为（对应于持续活动）的条件。
• 建立活动持久时间的下限，以网络规模 n 和参数 p 表示。

提出的方法

• 在具有 n 个节点且每个节点入度为 r 的随机图上，使用阈值接触过程对基因调控网络进行建模。
• 通过将每个节点的布尔函数视为期望值为 p 的 1 的比例，采用平均场近似。
• 应用随机过程技术分析阈值接触过程的存活时间。
• 推导出在 r 和 p 满足条件下，过程至少持续 exp(cn^b(p)) 时间的条件。
• 采用分支过程近似来界定持久时间，特别是在 r·2p(1−p) > 1 时。
• 证明当 (r−1)·2p(1−p) > 1 时，b(p) = 1，意味着在更强条件下持久时间相对于 n 呈指数增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有入度 r 的随机图上，阈值接触过程在何种条件下能长期持续？
• RQ2 布尔函数中 1 的期望比例 p 如何影响网络中活动的持久性？
• RQ3 以 n 及参数 r 和 p 表示，该过程的持久时间下限是什么？
• RQ4 条件 r·2p(1−p) > 1 如何与底层布尔网络中的混沌行为相关联？
• RQ5 在何种情况下持久时间呈 exp(cn) 而非更慢的指数增长？

主要发现

• 当 r ≥ 3 且 r·2p(1−p) > 1 时，阈值接触过程至少持续 exp(cn^b(p)) 时间，且 b(p) > 0。
• 若 (r−1)·2p(1−p) > 1，则 b(p) = 1，意味着持久时间至少相对于 n 呈指数增长。
• 在条件 r·2p(1−p) > 1 下，持久时间相对于 n 呈超多项式增长。
• 该结果支持在这些参数条件下，原始随机布尔网络模型中存在混沌行为。
• 该分析为阈值接触过程吸收时间提供了严格的下界，证实了长期活动的存在。
• 阈值接触过程可作为高入度且 p 不极端的基因调控网络中持续活动的有效近似。