[论文解读] Persistence of laminations
本文提出了一个现代且广义化的证明，说明在 $C^r$-扰动下，法双曲叶状结构的持久性，将经典的 Hirsch-Pugh-Shub 定理推广至自同态、非紧致叶状结构以及复解析情形。通过复结构的形变理论与锥场构造，本文建立了在全纯扰动下 $C^r$-持久叶状结构及全纯叶状结构族的存在性，其应用涵盖 Hénon 映射与纤维全纯动力系统。
We present a modern proof of some extensions of the celebrated Hirsch-Pugh-Shub theorem on persistence of normally hyperbolic compact laminations. Our extensions consist of allowing the dynamics to be an endomorphism, of considering the complex analytic case and of allowing the laminations to be non compact. To study the analytic case, we use the formalism of deformations of complex structures. We present various persistent complex laminations which appear in dynamics of several complex variables: Henon maps, fibered holomorphic maps... In order to proof the persistence theorems, we construct a laminar structure on the stable and unstable of the normally hyperbolic laminations.
研究动机与目标
- 将经典的 Hirsch-Pugh-Shub $C^r$-持久性定理推广至自同态情形，即使映射非微分同胚且存在奇点。
- 通过要求动力的拉回保持叶状结构的闭包，将持久性结果推广至非紧致叶状结构。
- 利用复结构的形变理论，建立全纯单参数族自同态下复叶状结构的持久性。
- 通过锥场与全纯提升，构造法双曲叶状结构的稳定与不稳定集上的不变叶状结构。
- 证明持久叶状结构继承复解析结构，即使全空间并非平凡的积丛。
提出的方法
- 在切丛的拉回上使用锥场定义稳定与不稳定方向，确保相对于叶切空间的均匀压缩/扩张。
- 通过局部坐标与 Grassmannian 丛中的 $C^r$-过渡，构造法方向拉回丛上的 $C^r$-叶状结构。
- 应用复结构的形变理论，在复参数空间上构造复叶状结构族。
- 通过分析动力迭代切像的交集，证明叶状结构切空间的 $J$-不变性。
- 利用拉回映射 $f^*$ 在叶状结构本身上定义动力，确保块扩张性与扰动的相容性。
- 利用复结构的唯一性（引理 5.2）确保提升的叶状结构为全纯浸入。
实验结果
研究问题
- RQ1能否将法双曲叶状结构的 $C^r$-持久性推广至非微分同胚的自同态？
- RQ2当拉回映射保持叶状结构的闭包时，持久性结果是否对非紧致叶状结构依然成立？
- RQ3HPS 定理能否推广至全纯情形，以确保持久复叶状结构族的存在？
- RQ4在何种条件下，全空间上的持久复叶状结构同构于积结构 $\mathcal{L} \times B_0$？
- RQ5如何在叶状结构的法丛上构造 $C^r$-光滑叶状结构，以确保 $C^r$-持久性？
主要发现
- 定理 0.1 建立了在紧致叶状结构上，$r$-法扩张自同态的 $C^r$-持久性，即使映射非双射。
- 定理 0.2 将持久性推广至具有双射拉回的 $r$-法双曲自同态，并在扰动下保持 $C^r$-结构。
- 定理 0.3 证明了在复参数空间 $B_0$ 上存在一个全纯叶状结构族 $(\mathcal{L}_t)$，在自同态的全纯扰动下保持不变。
- 持久复叶状结构未必源自积结构 $\mathcal{L} \times B_0$，如例 5.5 所示，但在充分条件下存在（命题 5.3）。
- 通过分析动力迭代切像的交集，证明了持久叶状结构的切空间具有 $J$-不变性。
- 通过锥场与 $C^r$-提升至 Grassmannian 的叶状结构构造，确保了全空间上存在明确定义的 $C^r$-叶状结构。
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