[论文解读] Persistence of the Conley Index in Combinatorial Dynamical Systems

Tamal K. Dey, Marian Mrożek+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2020

Topological and Geometric Data Analysis被引用 2

一句话总结

本文提出了一套框架，通过使用zigzag持久同调方法，将孤立不变集的拓扑不变量——Conley指标——整合到持久同调设置中，以追踪多向量场扰动下的动力学特征变化。主要贡献是开发了一种鲁棒算法，可在存在噪声的情况下，对演化组合动力系统中的特征进行可靠追踪。

ABSTRACT

A combinatorial framework for dynamical systems provides an avenue for connecting classical dynamics with data-oriented, algorithmic methods. Combinatorial vector fields introduced by Forman and their recent generalization to multivector fields have provided a starting point for building such a connection. In this work, we strengthen this relationship by placing the Conley index in the persistent homology setting. Conley indices are homological features associated with so-called isolated invariant sets, so a change in the Conley index is a response to perturbation in an underlying multivector field. We show how one can use zigzag persistence to summarize changes to the Conley index, and we develop techniques to capture such changes in the presence of noise. We conclude by developing an algorithm to track features in a changing multivector field.

研究动机与目标

• 在组合动力系统背景下，建立经典Conley指标理论与持久同调之间的联系。
• 解决在随时间演化或受扰动的多向量场中追踪拓扑特征的挑战。
• 开发一种对噪声鲁棒的方法，通过持久性检测并总结孤立不变集中的变化。
• 提供一种算法框架，用于追踪底层多向量场结构变化过程中的特征。

提出的方法

• 利用zigzag持久同调建模同调特征在一系列多向量场中的演化过程。
• 将Conley指标应用于组合多向量场中的孤立不变集，以定义拓扑不变量。
• 构建源自多向量场的复形过滤，以支持持久同调计算。
• 利用持久同调中的稳定性定理，确保对多向量场中微小扰动的鲁棒性。
• 设计一种算法，追踪时变多向量场中Conley指标特征的出生与死亡。
• 通过聚焦于在多个尺度或时间步长中持续存在的特征，实现对噪声的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Conley指标适应于组合动力系统中的持久同调框架？
• RQ2 zigzag持久同调在总结多向量场扰动下Conley指标变化中扮演何种角色？
• RQ3 在存在噪声的情况下，如何可靠地追踪时变多向量场中的拓扑特征？
• RQ4 何种算法结构能够实现对演化组合动力学中孤立不变集的高效且鲁棒的追踪？

主要发现

• Zigzag持久同调能够有效捕捉Conley指标特征在多向量场序列中的演化过程。
• 该框架即使在多向量场被扰动或含噪声的情况下，也能实现对拓扑变化的鲁棒检测。
• Conley指标中的持久特征对应于稳定的动力学结构，如平衡点或周期轨道。
• 所提出的算法成功追踪了多向量场变化过程中拓扑特征的出生与死亡。
• 该方法在小扰动下表现出稳定性，确保仅显著的动力学变化会被反映在持久性总结中。