[论文解读] Persistent homoclinic tangencies and infinitely many sinks for residual sets of automorphisms of low degree in C^{3}

Sébastien Biebler|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文通过复数版的blender概念，建立了ℂ³中度为2的多项式微分同胚存在持久同宿横截的证据，导致残集内存在无穷多个汇点稠密分布。作者构造了一个特定的微分同胚，其具有分段耗散的周期点和满足复数blender性质的马蹄结构，从而实现鲁棒的横截，并在小扰动下产生无穷多个汇点。

ABSTRACT

We show that there exists a polynomial automorphism $f$ of $\mathbb{C}^{3}$ of degree 2 such that for every automorphism $g$ sufficiently close to $f$, $g$ admits a tangency between the stable and unstable laminations of some hyperbolic set. As a consequence, for each $d \ge 2$, there exists an open set of polynomial automorphisms of degree at most $d$ in which the automorphisms having infinitely many sinks are dense. To prove these results, we give a complex analogous to the notion of blender introduced by Bonatti and Diaz.

研究动机与目标

• 通过构造具有持久同宿横截的多项式自同构，将Newhouse现象扩展至三维复动力系统。
• 证明对于每个d ≥ 2，具有无穷多个汇点的自同构在Aut_d(ℂ³)的某个开子集内稠密。
• 引入并利用复数版的blender概念——称为“复数blender”——以确保不变流形之间鲁棒相交。
• 证明特定的ℂ³中度为2的多项式自同构f₀支持具有blender性质的马蹄结构，从而在小扰动下实现持久横截。
• 证明此类blender的存在可导致在参数的残集内通过横截展开产生汇点。

提出的方法

• 构造一个特定的多项式自同构f₀ ∈ Aut₂(ℂ³)，其具有索引为(2,1)的马蹄结构，其中第三方向被适度压缩。
• 通过在三圆柱体D内的不变锥场Cᵘ、Cˢˢ和Cᶜˢ定义复数blender性质，确保任何切于Cˢˢ的曲线在D的某个开子集内与不稳定集Wᵘ(ℋ_f₀)相交。
• 证明f₀具有分段耗散的周期点，确保在某些方向上特征值乘积的模小于1。
• 引入“折叠流形”并赋予其特殊的几何构型，以模拟横截点附近的不稳定与稳定流形。
• 使用全纯坐标变换Ψ_τ和ℙ²(ℂ)中的射影几何，分析扰动下不变流形的切方向。
• 应用倾角引理和横截性论证，证明对任意小的τ，周期点处的微分满足AΛ₁ = 0，意味着存在横截并产生汇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在度受控的ℂ³复多项式自同构中实现Newhouse现象（即无穷多个汇点）？
• RQ2 在ℂ³中是否存在blender概念的复数版本，以确保不变流形之间鲁棒相交？
• RQ3 能否使用度为2的多项式自同构在ℂ³中构造持久同宿横截？
• RQ4 对每个d ≥ 2，具有无穷多个汇点的自同构集合是否在Aut_d(ℂ³)的某个开子集内稠密？
• RQ5 何种动力学条件可确保多项式自同构的小扰动通过横截产生汇点？

主要发现

• 存在一个ℂ³中度为2的多项式自同构f₀，使得每个充分接近f₀的g，其某个双曲集的稳定与不稳定层之间均存在横截。
• 对每个d ≥ 2，存在Aut_d(ℂ³)的一个开子集，其中具有无穷多个汇点的自同构稠密。
• 该构造依赖于复数blender性质：一个马蹄结构，其不稳定流形能鲁棒地与任何与强稳定锥相切的优良定向曲线相交。
• 作者证明特定的度为2的自同构f₀具有分段耗散的周期点，确保产生汇点所必需的压缩性。
• 通过在全纯坐标下分析映射的微分，并利用ℙ²(ℂ)中的横截性，他们证明对任意小的参数τ，汇点会在周期点附近出现。
• 此类汇点的存在性在参数0的每个邻域内均被保证，证明汇点在扰动下被鲁棒地产生。