[论文解读] Persistent Markov partitions for rational maps

Mary Rees|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文通过在黎曼球面上对有限图进行同伦形变，构造了有理映射（包括非双曲情形）的持久马尔可夫划分，使其在迭代下映射到自身的原像中。关键贡献在于证明了具备此类划分的有理映射集合在参数空间中是开集，且不仅限于单个双曲分支，即使存在抛物点也成立，利用λ-引理与全纯运动技术确保了参数空间中的拓扑持久性。

ABSTRACT

A construction is given of Markov partitions for some rational maps, which persist over regions of parameter space, not confined to single hyperbolic components. The set on which the Markov partition exists, and its boundary, are analysed.

研究动机与目标

• 开发一种有理映射马尔可夫划分的一般构造方法，使其在参数空间的开区域中持久存在，包括非双曲情形。
• 证明此类划分不仅存在于双曲分支中，也存在于包含抛物映射的邻域中。
• 分析划分存在的参数集的拓扑结构，特别是其边界与连通分支。
• 通过全纯运动与嵌套环形区域，将动力平面上的划分与参数空间中的对应划分关联起来。
• 通过同伦形变与度量控制，将已知的扩张映射与Yoccoz拼图结果推广至非扩张、非双曲有理映射。

提出的方法

• 在 $ \overline{\mathbb{C}} \setminus (F_0 \cup Z) $ 中构造一个三价、分段 $ C^1 $ 的图 $ G_0 $，其中 $ F_0 $ 是周期Fatou分支的并集，$ Z $ 包含抛物点。
• 利用 $ \lambda $-引理构造 $ \overline{\mathbb{C}} $ 的同伦，使得 $ G_0 $ 映射为新图 $ G' $，满足对充分大的 $ N $ 有 $ G' \subset f^{-N}(G') $。
• 确保该同伦在 $ \varepsilon $ 范围内接近恒等映射，并固定 $ F_0 \cup Z $，其支集位于有限个Fatou分支中。
• 定义图 $ G $ 位于 $ \bigcup_{i=0}^{N-1} f^{-i}(G') $ 的 $ \varepsilon' $-邻域内，保持拓扑结构，并确保 $ G \subset f^{-1}(G) $。
• 将马尔可夫划分 $ \mathcal{P} $ 定义为 $ \overline{\mathbb{C}} \setminus G $ 的连通分支的闭包，每个分支至多包含一个周期Fatou分支。
• 在参数空间中应用全纯运动技术，证明存在此类划分的映射集合是开集，且每个 $ V(\underline{Q}, g_0) $ 为单点集，从而确保参数依赖划分的唯一性与连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以一种在参数空间中持久存在的方法构造有理映射的马尔可夫划分，即使存在抛物点？
• RQ2 在完整参数空间中，具备固定马尔可夫划分的有理映射集合是否为开集，且是否超出双曲分支？
• RQ3 具备马尔可夫划分的映射集合的边界行为如何，其具有何种拓扑结构？
• RQ4 能否将通过马尔可夫图在球面上实现的动力划分提升为参数空间中的对应划分？
• RQ5 λ-引理在确保图及其诱导划分在参数族中实现同伦持久性方面起到何种作用？

主要发现

• 通过该方法构造的马尔可夫划分所对应的有理映射集合在所有有理映射的全空间中是开集。
• 若该开集包含至少一个具有抛物周期点的映射，则其不被包含于单个双曲分支中。
• 该构造确保将 $ G_0 $ 映射到 $ G' $ 的同伦可被设定为在 $ \varepsilon $ 范围内接近恒等映射，并固定 $ F_0 \cup Z $，其支集位于有限个Fatou分支中。
• 所得图 $ G $ 位于 $ \bigcup_{i=0}^{N-1} f^{-i}(G') $ 的 $ \varepsilon' $-邻域内，保持划分的拓扑结构。
• 对每个 $ \underline{Q} \in \mathcal{Q} $，集合 $ V(\underline{Q}, g_0) $ 为单点集，意味着参数依赖划分的唯一性与连续性。
• 在 $ V(G(g_0), g_0) $ 中，$ \overline{V(\underline{Q}, g_0)} $ 的补集恰好有一个连通分支，确保了参数空间划分中的拓扑一致性。