[论文解读] Persistent sheaf cohomology

Florian Russold|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2022

Topological and Geometric Data Analysis被引用 4

一句话总结

本文通过将持久性理论扩展到层上同调，提出了两种新颖的持久层上同调构造，实现了在代数（固定空间上的层变化）和拓扑（固定层下的空间变化）维度上对上同调特征的追踪。主要贡献在于形式化了类型A的层持久性模和类型T的共持久性模，并给出了二者可相互约化的条件，同时构建了结合两种维度的二维持久性模。

ABSTRACT

We expand the toolbox of (co)homological methods in computational topology by applying the concept of persistence to sheaf cohomology. Since sheaves (of modules) combine topological information with algebraic information, they allow for variation along an algebraic dimension and along a topological dimension. Consequently, we introduce two different constructions of sheaf cohomology (co)persistence modules. One of them can be viewed as a natural generalization of the construction of simplicial or singular cohomology copersistence modules. We discuss how both constructions relate to each other and show that, in some cases, we can reduce one of them to the other. Moreover, we show that we can combine both constructions to obtain two-dimensional (co)persistence modules with a topological and an algebraic dimension. We also show that some classical results and methods from persistence theory can be generalized to sheaves. Our results open up a new perspective on persistent cohomology of filtrations of simplicial complexes.

研究动机与目标

• 通过引入两种不同的构造，将持久性理论扩展到层上同调：一种用于固定拓扑空间上的层变化（类型A），另一种用于固定层下的空间变化（类型T）。
• 通过将ZC-表示定理等关键结果推广到层上，为持久层上同调建立理论基础。
• 证明在某些情况下，拓扑型共持久性模可约化为代数型持久性模。
• 展示如何将两种构造结合，形成具有独立代数与拓扑参数的二维（共）持久性模。
• 探索持久层上同调作为分析标记数据集和超出单纯上同调的高维结构的工具的潜力。

提出的方法

• 通过在固定拓扑空间X上考虑层及其层态射的线性图，构造类型A的持久性模，追踪沿图的层上同调H^k(X, F_i)。
• 通过沿拓扑空间之间连续映射拉回固定层，诱导上同调态射，形成上同调模的图，构造类型T的共持久性模。
• 应用ZC-表示定理，证明向量空间值层的持久性与共持久性模均为区间可分解，从而得到持久性条形码。
• 在层为常层或满足某些相容性条件时，将类型T的共持久性模约化为类型A的持久性模。
• 通过同时参数化拓扑空间与层结构，将两种构造结合，形成二维持久性模。
• 使用分次模的层，通过标准上同调技术实现持久层上同调的高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定层结合了拓扑与代数信息，持久性理论如何推广到层上同调？
• RQ2 持久层上同调的两种不同构造是什么？它们在变化对象（层或空间）上如何区别？
• RQ3 在何种条件下，类型T的共持久性模（空间变化）可约化为类型A的持久性模（层变化）？
• RQ4 两种构造能否结合形成具有独立代数与拓扑参数的二维持久性模？
• RQ5 层上同调在分析标记数据集（如着色单纯复形滤子）中起什么作用？

主要发现

• 本文证明，向量空间值层的类型A持久性模与类型T共持久性模均为区间可分解，产生可追踪持久上同调类的持久性条形码。
• 在过滤单纯复形上的常层情况下，类型T的共持久性模可约化为类型A的持久性模，将经典持久同调与层上同调联系起来。
• 标记滤子的零维持久层上同调捕获了滤子中单色连通分支的数量，如带标记点的示例所示。
• 通过结合类型A与类型T模构造二维持久性模，实现了对层上同调中代数与拓扑变化的同步分析。
• 该方法通过将持久层上同调约化为分次模层的上同调，实现了其高效计算。
• 该框架通过将过滤单纯复形视为（共）层的分次模，为过滤单纯复形的持久上同调提供了新视角。