[论文解读] Perturbation de la dynamique de difféomorphismes en topologie C^1 / Perturbation of the dynamics of diffeomorphisms in the C^1-topology

Sylvain Crovisier|ArXiv.org|Dec 15, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文在 $C^1$-拓扑下发展了先进的扰动技术，用于控制和修改紧流形上微分同胚的动力行为，特别关注横截性、轨道连接以及切线动力学。研究证明，$C^1$-泛用微分同胚具有平凡中心化子，表明其具有结构刚性，并揭示了微分同胚群中动力行为与代数性质之间的深刻联系。

ABSTRACT

Les travaux présentés dans ce mémoire portent sur la dynamique de difféomorphismes de variétés compactes. Pour l'étude des propriétés génériques ou pour la construction d'exemples, il est souvent utile de savoir perturber un système. Ceci soulève généralement des problèmes délicats : une modification locale de la dynamique peut engendrer un changement brutal du comportement des orbites. En topologie C^1, nous proposons diverses techniques permettant de perturber tout en contrôlant la dynamique : mise en transversalité, connexion d'orbites, perturbation de la dynamique tangente, réalisation d'extensions... Nous en tirons diverses applications à la description de la dynamique des difféomorphismes C^1-génériques. This memoir deals with the dynamics of diffeomorphisms of compact manifolds. For the study of generic properties or for the construction of examples, it is often useful to be able to perturb a system. This generally leads to delicate problems: a local modification of the dynamic may cause a radical change in the behavior of the orbits. For the C^1 topology, we propose various techniques which allow to perturb while controlling the dynamic: setting in transversal position, connection of orbits, perturbation of the tangent dynamics,... We derive various applications to the description of the C^1-generic diffeomorphisms.

研究动机与目标

• 发展稳健的 $C^1$-扰动技术，使得在不破坏全局拓扑共轭类的前提下，能够对微分同胚的动力行为进行受控修改。
• 通过控制复发性、双曲性和轨道连接，分析 $C^1$-泛用微分同胚的结构。
• 证明 $C^1$-泛用微分同胚具有平凡中心化子，将动力复杂性与代数刚性联系起来。
• 研究伪轨道、链传递性以及非一致双曲性在塑造全局动力行为中的作用。
• 探讨扰动对切线映射动力学的影响，以及不变结构（如叶状结构和正常双曲子流形）的存在性。

提出的方法

• 利用 Pugh 的 $C^1$-闭合引理和连接引理，修改轨道以实现轨道闭合或连接。
• 采用“幽灵扰动”——通过在不相交的迭代集上支撑的微分同胚实现的局部共轭——在不改变全局共轭类的前提下，改变切线动力 $Df$。
• 应用支配分解理论和广义跟踪理论，分析非一致双曲性和链-双曲类。
• 构造一列 $C^1$-微分同胚 $g_i$ 收敛于极限 $g$，其中 $g$ 通过极限同胚 $\varphi$ 与原映射 $f$ 共轭，从而在保持拓扑共轭的同时修改 $Df$。
• 使用拓扑塔和小支集扰动，确保每次修改仅影响局部动力，同时保持全局结构。
• 应用 Mafin{\acute{e}}-Pujals-Sambarino 技术分析极端 Lyapunov 指数，并证明拟吸引子和链-递归集的双曲性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以对 $C^1$-微分同胚进行扰动，以修改其切线动力，同时保持其拓扑共轭类不变？
• RQ2 具有平凡中心化子的 $C^1$-微分同胚集合的结构是什么？它与泛用动力行为有何关联？
• RQ3 在非一致双曲性存在的情况下，伪轨道在多大程度上可以被连接或跟踪？
• RQ4 在什么条件下，$C^1$-泛用微分同胚在群 $\mathrm{Diff}^1(M)$ 中具有非平凡中心化子？
• RQ5 扰动如何影响不变叶状结构和正常双曲子流形的存在性与正则性？

主要发现

• 在紧流形上，$C^1$-泛用微分同胚在 $\mathrm{Diff}^1(M)$ 中具有平凡中心化子，表明此类系统具有动力刚性，且不与任何非平凡微分同胚交换。
• 幽灵扰动使得在不改变 $f$ 的拓扑共轭类的前提下，能够修改切线映射 $Df$，从而在不改变全局轨道结构的情况下实现对动力行为的控制。
• 拓扑塔的存在性表明，对任意非周期点，总可找到一个邻域，使其与所有迭代轨道相交，从而为有效扰动设计提供支持。
• 非一致双曲性和支配分解在 $C^1$-扰动下具有鲁棒性，链-双曲类可通过广义跟踪性与图族特征刻画。
• 在特定条件下，拟吸引子和链-递归集被证明为双曲的，其双曲性与均匀纤维丛的非退化性相关联。
• 若一个 $C^1$-微分同胚的动力满足特定的复发性和双曲性条件，特别是当系统表现出强指定性或链传递性时，其中心化子为平凡。