[论文解读] Perturbation determinants and trace formulas for singular perturbations

M. M. Malamud, Hagen Neidhardt|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文将克雷因（Krein）的摄动行列式与迹公式理论推广至奇异摄动——具体而言，是闭对称算子的适当扩张对——采用边界三元组框架。通过抽象威尓（Weyl）函数与几乎可解扩张的特征函数，引入广义摄动行列式，推导出自伴、耗散及其他扩张对的迹公式，对耗散系统获得新结果，并应用于微分算子。

ABSTRACT

We use the boundary triplet approach to extend the classical concept of perturbation determinants to a more general setup. In particular, we examine the concept of perturbation determinants to pairs of proper extensions of closed symmetric operators. For an ordered pair of extensions we express the perturbation determinant in terms of the abstract Weyl function and the corresponding boundary operators. A crucial role in our approach plays so-called almost solvable extensions. We obtain trace formulas for pairs of self-adjoint, dissipative and other pairs of extensions and express the spectral shift function in terms of the abstract Weyl function and the characteristic function of almost solvable extensions. We emphasize that for pairs of dissipative extensions our results are new even for the case of additive perturbations. In this case we improve and complete some classical results of M.G. Krein for pairs of self-adjoint and dissipative operators. We apply the main results to ordinary differential operators and to elliptic operators as well.

研究动机与目标

• 将克雷因（Krein）的摄动行列式理论从正则算子对推广至奇异算子对，特别是对称算子的适当扩张对。
• 在奇异摄动背景下，利用抽象边界三元组，建立迹公式与谱移函数的理论框架。
• 为耗散扩张建立新结果，其中现有经典理论不完整或不适用。
• 将抽象理论应用于具体算子，包括常微分与椭圆微分算子。
• 以几乎可解扩张的威尓函数与特征函数表征谱移函数。

提出的方法

• 采用边界三元组方法表示对称算子的扩张，利用辅助希尔伯特空间及边界映射 Γ₀, Γ₁。
• 通过抽象威尓函数 M(λ) 与几乎可解扩张的特征函数，定义扩张对的摄动行列式。
• 利用克雷因型预解公式，将预解子的差异与威尓函数及边界算子关联。
• 通过函数演算与 H∞-函数演算，建立摄动行列式在上半平面的全纯性与迹类性质。
• 通过摄动行列式对数导数的积分推导迹公式，将其与谱移函数关联。
• 通过显式边界条件与特征函数，将理论应用于斯图尔姆-刘维尔（Sturm-Liouville）与二阶椭圆算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典摄动行列式概念推广至奇异算子对，如对称算子的不同适当扩张？
• RQ2 抽象威尓函数与特征函数在表达几乎可解扩张的摄动行列式中起何作用？
• RQ3 如何为自伴、耗散及 m-累积扩张对的谱移函数推导迹公式？
• RQ4 本研究结果在何种程度上改进或补全了 M.G. 克雷因（Krein）对耗散算子的经典结果？
• RQ5 如何将抽象框架应用于具体微分算子，如斯图尔姆-刘维尔（Sturm-Liouville）与椭圆算子？

主要发现

• 本文通过边界三元组引入奇异扩张对的新型广义摄动行列式，即使预解子差异非迹类，该定义依然有效。
• 对于自伴扩张对，谱移函数可表示为威尓函数下摄动行列式的对数导数。
• 对于耗散扩张，作者推导出新迹公式，扩展并补全了克雷因（Krein）的经典结果，尤其在加法摄动情形下。
• 几乎可解扩张的特征函数在表达摄动行列式与谱移函数中起核心作用。
• 该理论成功应用于矩阵斯图尔姆-刘维尔算子（在 ℝ₊ 上）、(0,b) 上的斯图尔姆-刘维尔算子，以及具有紧致边界的一阶椭圆算子。
• 该框架可在标准克雷因理论因预解子差异非迹类而失效时，仍能推导出迹公式。