[论文解读] Perturbation Resilient Clustering for $k$-Center and Related Problems via LP Relaxations

Chandra Chekuri, Shalmoli Gupta|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

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一句话总结

本文证明，在2-扰动鲁棒性条件下，k-center及其带异常值的版本的自然线性规划（LP）松弛是整数的，这意味着当实例在保持度量的扰动下稳定时，该松弛能精确恢复最优聚类。该方法结合了基于最小生成树（MST）的分解与在变换后的二叉树上的动态规划，证明了在相同鲁棒性条件下，多个基于中心的聚类目标（包括k-median和k-means）均可被精确求解。

ABSTRACT

We consider clustering in the perturbation resilience model that has been studied since the work of Bilu and Linial [ICS, 2010] and Awasthi, Blum and Sheffet [Inf. Proc. Lett., 2012]. A clustering instance $I$ is said to be $α$-perturbation resilient if the optimal solution does not change when the pairwise distances are modified by a factor of $α$ and the perturbed distances satisfy the metric property --- this is the metric perturbation resilience property introduced in Angelidakis et. al. [STOC, 2010] and a weaker requirement than prior models. We make two high-level contributions. 1) We show that the natural LP relaxation of $k$-center and asymmetric $k$-center is integral for $2$-perturbation resilient instances. We belive that demonstrating the goodness of standard LP relaxations complements existing results that are based on combinatorial algorithms designed for the perturbation model. 2) We define a simple new model of perturbation resilience for clustering with \emph{outliers}. Using this model we show that the unified MST and dynamic programming based algorithm proposed by Angelidakis et. al. [STOC, 2010] exactly solves the clustering with outliers problem for several common center based objectives (like $k$-center, $k$-means, $k$-median) when the instances is $2$-perturbation resilient. We further show that a natural LP relxation is integral for $2$-perturbation resilient instances of \kcenter with outliers.

研究动机与目标

• 理解为何标准LP松弛在稳定聚类实例中表现良好。
• 在扰动鲁棒性条件下，为LP松弛的整数性建立理论保证，特别是针对k-center及相关问题。
• 引入一种新的基于度量扰动鲁棒性的带异常值聚类模型，并证明其可实现精确的多项式时间解法。
• 通过基于MST与动态规划的统一框架，统一分析带异常值的k-center、k-median与k-means问题。
• 证明标准数学规划形式（即LP）在稳定实例中足以捕捉最优解，从而补充了专门的算法设计。

提出的方法

• 构建输入点集的最小生成树（MST），以利用在扰动鲁棒实例中的结构稳定性。
• 通过引入虚拟顶点将MST转换为二叉树，以支持在二叉结构上的高效动态规划。
• 定义动态规划状态 opt(u, j, t, c)，用于追踪将子树 Tu 划分为 j 个聚类且包含 t 个异常值时的最小代价，其中 c 表示包含 u 的聚类的中心。
• 使用递归公式合并左右子树的解，处理 u 为异常值或作为包含其子节点的聚类一部分的情况。
• 通过修改代价函数与异常值约束，将相同框架应用于带异常值的k-center问题，同时保持动态规划结构不变。
• 证明对于2-扰动鲁棒实例，LP松弛产生整数解，意味着可精确恢复最优聚类。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明标准LP松弛在2-扰动鲁棒性条件下对k-center及其带异常值版本是整数的？
• RQ2 先前工作中基于MST的动态规划框架是否可扩展至在度量扰动鲁棒性下的带异常值聚类问题？
• RQ3 能否为带异常值的聚类问题定义一种统一的扰动鲁棒性模型，使其支持精确的多项式时间解法？
• RQ4 LP松弛在扰动鲁棒实例中的整数性是否为普遍现象，还是仅限于特定算法？
• RQ5 能否通过稳定实例中LP整数性，理论上解释现有启发式算法的性能？

主要发现

• 在度量扰动下，2-扰动鲁棒的k-center问题的自然LP松弛是整数的，确保可精确恢复最优解。
• 在所提出的基于度量的模型下，若实例为2-扰动鲁棒的，则k-center带异常值问题的同一LP松弛也是整数的。
• 基于MST的统一动态规划算法可精确求解2-扰动鲁棒实例下的k-center、k-median与k-means带异常值问题。
• 在MST的二叉树表示上构建的动态规划公式，可精确求解树划分问题，而该问题等价于原始的带异常值聚类问题。
• 该框架可推广至其他ℓp目标函数，包括带异常值的k-means与k-median问题，且在相同的2-扰动鲁棒性条件下成立。
• 结果表明，标准LP松弛在稳定实例中足以捕捉最优解，为这类形式在实践中表现优异提供了理论解释。