[论文解读] Perturbation Robust Stable Matching

Royi Jacobovic|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2016

Game Theory and Voting Systems参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文引入了一种稳定匹配中社会最优性的新概念，称为 $ν$-扰动鲁棒稳定匹配，该概念在社会成本与个体离开后的鲁棒性之间取得平衡。论文提出了一种 $ϵ(n^4)$-时间算法，在稳定性约束下计算该匹配，采用代理退出的概率模型，并在预期成本与重新匹配的遗憾之间进行权衡。

ABSTRACT

A well known result states that stability criterion for matchings in two-sided markets doesn't ensure uniqueness. This opens the door for a moral question with regard to the optimal stable matching from a social point of view. Here, a new notion of social optimality is proposed. Its novelty is its ability to take into account the possibility of agents to leave the matching after it has already been established. To formalize this real-life scenario, this work includes a well-defined probability model and a social cost function that maintain the general guidelines of leaving-agents situations. Finally, efficient algorithms to optimize this function are developed either under stability constraint or without it.

研究动机与目标

• 通过引入一种考虑代理离开的新社会最优性准则，解决稳定匹配中唯一性不足的问题。
• 对代理在匹配后可能离开、导致重新匹配成本高昂的现实场景进行建模。
• 开发一种高效算法，以在社会成本与代理离开后重新匹配的期望遗憾之间实现权衡优化。
• 通过在概率代理退出下引入扰动鲁棒性，扩展现有的稳定匹配框架。
• 为面临代理保留不确定性问题的市场设计者提供一种计算上可行的解决方案。

提出的方法

• 提出一种概率模型，其中每个代理 $ω_0$ 具有已知的退出概率 $p_{ω_0}$，$φ$ 表示无离开。
• 定义一个代价函数 $\psi(\cdot;\nu)$，将期望平方社会成本与重新匹配的期望平方遗憾相结合。
• 使用 Feder 的算法，为每个可能的离开代理 $\omega_0$ 计算最优匹配 $\mu_{\omega_0}$。
• 通过代价函数 $f(\omega_1, \omega_2)$ 将扰动鲁棒匹配问题转化为一个分配问题。
• 应用 Edmonds-Karp-Hopcroft 算法在 $\mathcal{O}(n^3)$ 时间内求解所得的分配问题。
• 通过预计算相关匹配并高效评估 $f(\cdot)$，证明整个算法的运行时间为 $\mathcal{O}(n^4)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何优化稳定匹配，以最小化社会成本和代理离开后的期望遗憾？
• RQ2 寻找一种在稳定性和对代理退出扰动的鲁棒性之间取得平衡的匹配，其计算复杂度是多少？
• RQ3 在概率退出模型下，能否高效计算出扰动鲁棒的稳定匹配？
• RQ4 在存在潜在代理离开的情况下，稳定性约束如何影响社会成本？
• RQ5 使用不同范数（如 $L_1$、$L_\infty$）对匹配的鲁棒性和效率有何影响？

主要发现

• 本文提出了一种新的社会成本函数，用于平衡代理离开后重新匹配的期望社会成本与期望遗憾。
• 所提出的 $\nu$-扰动鲁棒稳定匹配被定义为在稳定匹配集合上求解凸优化问题的解。
• 开发了一种 $\mathcal{O}(n^4)$-时间算法，用于在稳定性约束下计算扰动鲁棒的稳定匹配。
• 在不考虑稳定性的松弛版本问题中，也可通过分配问题公式在 $\mathcal{O}(n^4)$ 时间内求解。
• 通过精心定义的代价函数 $f(\omega_1, \omega_2)$，将鲁棒匹配问题转化为分配问题。
• 在最多一个代理可能离开的假设下，该算法具有高效性和可扩展性，运行时间取决于可能的离开子集数量。