[论文解读] Perturbation theory approaches to Anderson and Many-Body Localization: some lecture notes

Antonello Scardicchio, Thimothée Thiery|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2017

Quantum many-body systems参考文献 33被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种基于前向散射近似（FWA）和定位器展开的微扰方法，用于理解安德森局域化与多体局域化（MBL）。通过分析算符空间局域化图的收敛性，推导出MBL相变的临界相互作用强度，表明当相互作用强度低于与系统连通性成反比、与无序强度对数成反比的阈值时，局域化依然存在。

ABSTRACT

These are lecture notes based on three lectures given by Antonello Scardicchio at the December 2016 Topical School on Many-Body-Localization organized by the Statistical Physics Group of the Institute Jean Lamour in Nancy. They were compiled and put in a coherent logical form by Thimothée Thiery.

研究动机与目标

• 基于前向散射近似（FWA）建立分析多体局域化（MBL）的微扰框架，扩展单体安德森局域化的处理方法。
• 确立局部积分运动算符（LIOMs）展开收敛的条件，确保算符空间中的局域化，从而在多体谱中实现局域化。
• 通过分析图解展开中有效路径的统计行为，估计MBL相变的临界相互作用强度。
• 通过在算符格点中引入有效连通性，纳入电子密度和有限温度效应，导致谱中出现局域化边界。
• 阐明高维中非微扰效应和边界贡献的作用，解释为何微扰LIOM构造可能失效。

提出的方法

• 使用前向散射近似（FWA）简化多体哈密顿量，将相互作用视为粗粒度算符空间中的微扰。
• 对格林函数应用定位器展开技术，通过算符空间中有效路径权重分布分析其收敛性。
• 将算符间的有效相互作用建模为具有重尾分布的路径之和，估计大路径权重的概率。
• 通过要求最大矩阵元的存活概率在热力学极限下保持有限，推导出局域化的临界条件。
• 利用大偏差理论和渐近分析估计图的数量及路径权重的尾部概率。
• 引入有效连通性 $\mathcal{K}_{\text{eff}} = \nu(1-\nu)\mathcal{K}$ 以考虑电子密度，从而修正临界相互作用阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 前向散射近似用于局部积分运动算符（LIOMs）时，在何种条件下收敛，以确保多体局域化？
• RQ2 MBL相变的临界相互作用强度如何依赖于无序强度、跃迁幅度和系统连通性？
• RQ3 电子密度在多大程度上改变临界相互作用强度？是否会导致谱中出现局域化边界？
• RQ4 非微扰效应或边界贡献如何影响高维中微扰LIOM构造的有效性？
• RQ5 图解展开中有效路径的统计特性能否被用来准确预测MBL相变点？

主要发现

• MBL相变的临界相互作用强度估计为 $\lambda_c \simeq \frac{\sqrt{2\pi}}{2eC} \frac{1}{{\cal K}\log({\cal K})}$，显示出与算符格点连通性 $\mathcal{K}$ 的对数反比依赖关系。
• 当LIOMs展开收敛时，算符空间中的局域化得以保证，这发生在有效路径权重分布保持亚指数重尾时。
• 通过 $\mathcal{K}_{\text{eff}} = \nu(1-\nu)\mathcal{K}$ 引入电子密度后，临界相互作用强度变为密度相关，暗示可能存在多体局域化边界。
• 推导依赖于路径权重概率的大偏差估计，只有当图的数量增长速率与尾部分布衰减速率相平衡时，最大矩阵元的存活概率才会收敛至1。
• 该结果在形式上等价于在贝蒂格格子上使用FWA的结果，当映射 $W/g \to \lambda$ 和 $K \to (C/\sqrt{2\pi})\mathcal{K}$ 时，验证了该方法在受控极限下的有效性。
• 分析表明，在高维中，由于边界效应的存在，微扰LIOM构造可能失效，因此需要对局部积分运动算符进行更精细的定义。