[论文解读] Perturbations of discrete lattices and almost periodic sets

S. Favorov, Ye. Kolbasina|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2010

advanced mathematical theories参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文提出了一种通过 ℝᵖ 中满秩格点的几乎周期扰动来构建几乎周期离散集的框架，证明了所有一维几乎周期离散集均可作为等差数列的几乎周期扰动而构造。进一步表明，某些测度在分布意义下是几乎周期的，但并非弱几乎周期的；并构造了具体例子，显示符号几乎周期集的正部与负部本身并不单独几乎周期，揭示了该理论中一个根本性的不对称性。

ABSTRACT

A discrete set in the $p$-dimensional Euclidian space is {\it almost periodic}, if the measure with the unite masses at points of the set is almost periodic in the weak sense. We propose to construct positive almost periodic discrete sets as an almost periodic perturbation of a full rank discrete lattice. Also we prove that each almost periodic discrete set on the real axes is an almost periodic perturbation of some arithmetic progression. Next, we consider signed almost periodic discrete sets, i.e., when the signed measure with masses $\pm1$ at points of a discrete set is almost periodic. We construct a signed discrete set that is not almost periodic, while the corresponding signed measure is almost periodic in the sense of distributions. Also, we construct a signed almost periodic discrete set such that the measure with masses +1 at all points of the set is not almost periodic.

研究动机与目标

• 开发一种系统方法，通过 ℝᵖ 中满秩格点的几乎周期扰动来构造正的几乎周期离散集。
• 通过证明在一维情况下，所有 ℝᵖ 中的几乎周期离散集均为等差数列的扰动，解决一个开放问题：是否所有 ℝᵖ 中的几乎周期离散集均可表示为格点的扰动。
• 研究符号几乎周期离散集的行为，特别是符号测度的几乎周期性与正部/负部单独几乎周期性之间的区别。
• 澄清测度的弱几乎周期性与分布意义下几乎周期性之间的关系，尤其针对符号测度。
• 通过构造非平凡例子，证明几乎周期离散集的类严格大于形如 L + E 的集合（其中 L 为格点，E 为有限集），从而表明该类更广泛。

提出的方法

• 采用测度的几乎周期性概念：若对每个紧支集连续函数 φ，卷积 ∫φ(x+t)dμ(t) 在 x 上是几乎周期的，则 Borel 测度 μ 称为弱意义下的几乎周期测度。
• 应用定理 3 中的几何准则：多重离散集 A 是几乎周期的，当且仅当对于任意 ε > 0，存在相对稠密的 ε-几乎周期 τ 的集合（即存在双射 σ 满足对所有 n 有 |aₙ + τ - aσ(n)| < ε）。
• 通过在偶非零整数 n 上设置点 aₙ⁺ = n + 1/(α(n)+1)² 和 aₙ⁻ = n - 1/(α(n)+1)²，且在两侧赋予多重性 α(n)，构造一个符号离散集 A。
• 运用几乎周期函数与分布的理论，证明对所有具有小紧支集的 C∞ 函数 φ，卷积 φ * μ_A 在 x 上是几乎周期的，即使 μ_A 不满足一致有界性条件 (3)。
• 利用 Krounecker 定理，建立映射 F: ℝᵖ → ℝᵖ 的分量具有几乎周期性时，其公共 ε-几乎周期集合的相对稠密性。
• 应用定理 1 中的稠密性与变差条件，分析几乎周期测度及其相关离散集的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有 ℝᵖ 中的几乎周期离散集是否都能作为满秩格点的几乎周期扰动来构造？
• RQ2 每个一维几乎周期离散集是否都是某个等差数列的几乎周期扰动？
• RQ3 一个符号测度是否可能在分布意义下是几乎周期的，但并非弱几乎周期的？
• RQ4 符号几乎周期离散集的正部与负部是否必然继承几乎周期性？
• RQ5 几乎周期离散集的类是否严格大于形如 L + E 的集合（其中 L 为格点，E 为有限集）？

主要发现

• 每个 ℝ¹ 中的几乎周期离散集都是某个等差数列的几乎周期扰动。
• 存在一个符号离散集，其关联的符号测度在分布意义下是几乎周期的，但不是弱几乎周期的，因为它违反了统一有界性条件 (3)。
• 存在一个符号几乎周期离散集 A，其正部 A⁺ 与负部 A⁻ 均非几乎周期，表明符号测度的几乎周期性并不蕴含其分量的几乎周期性。
• 由构造例子中正负点并集构成的正离散集并非几乎周期，即使其关联的符号测度在分布意义下是几乎周期的。
• 正的几乎周期离散集类与弱意义下测度几乎周期的类一致，但该等价性对符号测度不成立。
• 该构造表明，即使测度不满足统一有界性条件 (3)，多重离散集的 ε-几乎周期集合仍可为相对稠密，突显了分布意义与弱几乎周期性之间的关键区别。