[论文解读] Perturbations of rational Misiurewicz maps

Magnus Aspenberg|ArXiv.org|Apr 7, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 4

一句话总结

该论文证明，任何非灵活Lattés型的有理Misiurewicz映射，若其Julia集等于整个Riemann球面，则可被任意接近地扰动为双曲有理映射，且所有临界点均位于超吸引循环中。证明采用参数空间中维度为$2d-2$的递归扰动方案，借助奇点消解与Whitney圆盘构造，控制临界点轨道，并通过将临界点置于超吸引循环中来确保双曲性。

ABSTRACT

In this paper we investigate the perturbation properties of rational Misiurewicz maps, when the Julia set is the whole sphere (the other case is treated in [1]). In particular, we show that if f is a Misiurewicz map and not a flexible Lattes map, then we can find a hyperbolic map arbitrarily close to f.

研究动机与目标

• 研究当Julia集为整个Riemann球面时，有理Misiurewicz映射的扰动性质。
• 确定此类映射是否可被双曲映射逼近，特别是其临界点是否可经扰动置于超吸引循环中。
• 由于其拟共形刚性，排除灵活Lattés映射，因其会阻碍此类扰动。
• 证明具有全Julia集的Misiurewicz映射是Collet-Eckmann映射的Lebesgue密度点。
• 提供一种构造性方法，将Misiurewicz映射逼近为后临界有限的双曲映射。

提出的方法

• 作者使用模Möbius共轭的参数空间$\mathcal{R}^d$，其维度为$2d-2$，研究给定Misiurewicz映射$f_0$附近的单参数族有理映射。
• 定义迭代临界点映射$\xi_{n,j}(a) = f_a^n(c_j(a))$，并利用参数空间中的Whitney子圆盘分析其在扰动下的行为。
• 通过Hironaka定理基于奇点消解处理高阶临界点，以确保对临界点运动的解析控制。
• 应用递归归纳方案：对每个临界点，在不断缩小的Whitney圆盘内求解$\xi_{n+m,k}(a) - c_k(a) = 0$，确保临界点落入超吸引循环。
• 构造过程按步骤进行，每次将一个临界点依次置入超吸引循环，每步降低余维数1。
• 该过程在有限步内终止（最多$2d-2$步），在$2d-2$维参数空间中，得到与原始Misiurewicz映射任意接近的双曲映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有全Julia集的有理Misiurewicz映射能否被扰动为双曲映射？
• RQ2 在何种条件下，可通过扰动使此类映射的所有临界点落入超吸引循环？
• RQ3 为何灵活Lattés映射被排除在扰动结果之外？
• RQ4 参数空间结构（$2d-2$维）如何促成双曲逼近的构造？
• RQ5 在具有全Julia集的Misiurewicz映射附近，双曲映射的集合是否为稠密？

主要发现

• 任何非灵活Lattés型有理Misiurewicz映射，若满足$J(f) = \hat{\mathbb{C}}$，可被任意接近地逼近为双曲有理映射。
• 所构造的双曲映射可确保所有临界点位于超吸引循环中，从而保证后临界有限的动力学行为。
• 该构造是有限且递归的，每步将余维数降低1，且在$2d-2$维参数空间中最多经$2d-2$步后终止。
• 该结果意味着此类Misiurewicz映射是Collet-Eckmann映射的Lebesgue密度点，且在逼近过程中$J(f) = \hat{\mathbb{C}}$保持不变。
• 该方法依赖Whitney圆盘与奇点消解处理高阶临界点，确保对临界轨道行为的解析控制。
• 排除灵活Lattés映射是必要的，因其允许拟共形形变，从而阻碍所需扰动控制。