[论文解读] Perturbative expansion in gauge theories on compact manifolds

David Adams|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 1996

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对无边界的紧致黎曼流形上规范场论的函数积分的改进微扰展开方法，采用协变背景场规范，其中背景场被选为作用量的临界点。通过限制到拓扑平凡的规范变换并考虑剩余规范对称性，当临界点在规范变换下孤立时，该方法消除了红外发散，从而在 $S^3$ 和透镜空间等流形上的陈-西蒙斯理论中实现了度规无关的微扰展开。

ABSTRACT

A geometric formal method for perturbatively expanding functional integrals arising in quantum gauge theories is described when the spacetime is a compact riemannian manifold without boundary. This involves a refined version of the Faddeev-Popov procedure using the covariant background field gauge-fixing condition with background gauge field chosen to be a general critical point for the action functional (i.e. a classical solution). The refinement takes into account the gauge-fixing ambiguities coming from gauge transformations which leave the critical point unchanged, resulting in the absence of infrared divergences when the critical point is isolated modulo gauge transformations. The procedure can be carried out using only the subgroup of gauge transformations which are topologically trivial, possibly avoiding the usual problems which arise due to gauge-fixing ambiguities. For Chern-Simons gauge theory the method enables the partition function to be perturbatively expanded for a number of simple spacetime manifolds such as $S^3$ and lens spaces, and the expansions are shown to be formally independent of the metric used in the gauge-fixing.

研究动机与目标

• 解决由于规范固定歧义性导致的紧致流形上微扰规范场论中的红外发散问题。
• 发展一种系统方法，用于在时空为无边界的紧致黎曼流形时，对量子规范场论中的函数积分进行展开。
• 确保微扰展开不依赖于规范固定中使用的度规，特别是在陈-西蒙斯理论中。
• 通过限制到拓扑平凡的变换，解决固定作用量临界点的规范变换带来的歧义。
• 为在拓扑非平凡时空（如 $S^3$ 和透镜空间）中形式化计算路径积分生成函数提供框架。

提出的方法

• 采用协变背景场规范，其中背景规范场被选为作用量泛函的临界点（即经典解）。
• 改进法捷耶夫-波波夫程序，以考虑保持背景场的剩余规范对称性，避免路径积分中重复计数。
• 将规范群限制为拓扑平凡的变换，以消除由大规范变换引起的歧义。
• 使用几何技术处理规范固定理论中的零模式和模参数，确保微扰展开的一致性。
• 将该方法应用于 $S^3$ 和透镜空间上的陈-西蒙斯理论，证明微扰级数在形式上与度规无关。
• 构建考虑了修正传播子和顶点的费曼图，这些图满足改进的规范固定条件和背景场对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使紧致流形上规范场论的微扰展开避免红外发散？
• RQ2 在路径积分量化背景下，作用量临界点处的剩余规范对称性起什么作用？
• RQ3 能否在 $S^3$ 和透镜空间上的陈-西蒙斯理论中构造出不依赖度规的稳定微扰展开？
• RQ4 拓扑非平凡的规范变换如何影响法捷耶夫-波波夫行列式及相应的路径积分？
• RQ5 微扰生成函数在多大程度上可以实现对规范固定中所用度规的独立性？

主要发现

• 当背景规范场在规范变换下为孤立临界点时，改进的法捷耶夫-波波夫程序成功消除了红外发散。
• 在 $S^3$ 和透镜空间上的陈-西蒙斯理论中，微扰展开在形式上与规范固定中使用的度规无关。
• 通过将规范群限制为拓扑平凡的元素，该方法避免了大规范变换带来的问题。
• 仅使用在同伦意义下平凡的规范变换子群，即可对生成函数进行微扰展开。
• 该形式化通过正确处理背景场剩余规范对称性相关的零模式，确保了路径积分的一致性。
• 在改进形式化中，修正后的费曼图准确反映了在优化规范固定条件下传播子和顶点的正确结构。