[论文解读] Perturbative gadgets without strong interactions

Yudong Cao, Daniel Nagaj|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的两体微扰夹具构造方法，通过仅使用强度为 O(ε) 的弱相互作用，而非典型的 O(ε⁻¹)，将目标 k 体哈密顿量以误差 ε ≪ γ 近似为相互作用强度 γ = O(1) 的形式。关键创新在于为微扰级数提出了一种新的收敛条件，使得夹具可并行应用于多个多体项，从而在引入多项式量级的辅助量子比特和相互作用项的代价下，显著降低所需的相互作用强度。

ABSTRACT

Perturbative gadgets are used to construct a quantum Hamiltonian whose low-energy subspace approximates a given quantum $k$-body Hamiltonian up to an absolute error $ε$. Typically, gadget constructions involve terms with large interaction strengths of order $ ext{poly}(ε^{-1})$. Here we present a 2-body gadget construction and prove that it approximates a target many-body Hamiltonian of interaction strength $γ= O(1)$ up to absolute error $ε\llγ$ using interactions of strength $O(ε)$ instead of the usual inverse polynomial in $ε$. A key component in our proof is a new condition for the convergence of the perturbation series, allowing our gadget construction to be applied in parallel on multiple many-body terms. We also show how to apply this gadget construction for approximating 3- and $k$-body Hamiltonians. The price we pay for using much weaker interactions is a large overhead in the number of ancillary qubits, and the number of interaction terms per particle, both of which scale as $O( ext{poly}(ε^{-1}))$. Our strong-from-weak gadgets have their primary application in complexity theory (QMA hardness of restricted Hamiltonians, a generalized area law counterexample, gap amplification), but could also motivate practical implementations with many weak interactions simulating a much stronger quantum many-body interaction.

研究动机与目标

• 开发能够仅使用弱两体相互作用来模拟强 k 体相互作用的微扰夹具，避免对反多项式相互作用强度的需求。
• 建立微扰级数的新收敛准则，以允许在多个多体项上并行应用夹具。
• 将所需相互作用强度从 O(ε⁻¹) 降低至 O(ε)，同时在绝对误差 ε 范围内保持有效哈密顿量的近似精度。
• 通过物理上更易实现的弱相互作用，实现量子复杂性理论中的应用，例如受限哈密顿量的 QMA 硬度与间隙放大。
• 通过与现有三体到两体夹具约化方法结合，将构造推广至 k 体哈密顿量。

提出的方法

• 使用由辅助量子比特构成的核心结构，并通过强度为 O(ε) 的弱相互作用耦合到目标自旋，构建两体夹具哈密顿量。
• 基于夹具哈密顿量的谱性质，提出微扰级数的新收敛条件，确保误差级数几何收敛。
• 对完整夹具哈密顿量应用微扰展开，证明其有效低能子空间可近似为与目标哈密顿量相差 O(ε) 的形式。
• 利用缩放论证和矩阵范数界控制微扰级数中的误差项，表明其衰减为 O(R⁻ᵈᐟ²)（当 R 较大时）。
• 将新型弱相互作用两体夹具与现有三体到两体构造（如 Oliveira 和 Terhal 的方法）结合，实现仅通过弱耦合模拟 k 体相互作用。
• 证明辅助量子比特总数和相互作用项数均按 O(poly(ε⁻¹)) 缩放，其度数依赖的开销取决于相互作用图的空间维度 d。

实验结果

研究问题

• RQ1 微扰夹具能否仅使用夹具中强度为 O(ε) 的相互作用，而非 O(ε⁻¹)，来模拟目标 k 体哈密顿量，且其相互作用强度为 O(1)？
• RQ2 为确保在并行应用夹具时微扰级数保持有界，需要何种新的收敛条件？
• RQ3 当将强相互作用简化为弱相互作用时，辅助量子比特和相互作用项的开销如何缩放？
• RQ4 新夹具构造能否与现有三体到两体约化方法组合，以实现仅通过弱耦合模拟一般 k 体相互作用？
• RQ5 弱相互作用夹具对量子复杂性理论有何影响，例如 QMA 硬度与间隙放大？

主要发现

• 本文构造了一种两体微扰夹具，可在仅使用强度为 O(ε) 的相互作用下，以 γ = O(1) 的相互作用强度和误差 ε ≪ γ 近似目标 k 体哈密顿量，避免了对 O(ε⁻¹) 耦合的需求。
• 提出了一种微扰级数的新收敛条件，支持夹具的并行应用，并确保误差级数以 O(R⁻ᵈᐟ²) 的速率几何收敛。
• 所需辅助量子比特总数按 O(poly(ε⁻¹)) 缩放，且具有依赖于相互作用图最大度数 D 和空间维度 d 的显式界。
• 每个粒子的相互作用项数按 O(poly(ε⁻¹)) 缩放，且夹具哈密顿量的总相互作用度在最坏情况下仍为 poly(ε⁻¹)。
• 通过将新夹具与现有三体到两体约化方法结合，可仅使用弱两体相互作用实现 k 体相互作用的模拟。
• 低能子空间中的有效哈密顿量与目标哈密顿量的误差在 O(ε) 范围内，且误差被一个几何级数所控制，当 R 足够大时该级数收敛。