[论文解读] Perverse coherent sheaves (after Deligne)

Roman Bezrukavnikov|arXiv (Cornell University)|May 16, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 68

一句话总结

本文阐述了 Deligne 未发表的构造：在具有对偶复形的诺特概型上的 coherent sheaf 的导出范畴上定义 perverse t-structure，将 BBD 框架扩展至 coherent sheaves。主要贡献在于证明了当 perversity 函数为单调和共单调时，此类 t-structure 的存在性，并将其应用于 G-等变层——特别是半单群的幂零锥上——此时核心范畴成为阿廷环，不可约对象作为等变向量丛的最小扩张而出现。

ABSTRACT

This note is mostly an exposition of an unpublished result of Deligne, which introduces an analogue of perverse $t$-structure on the derived category of coherent sheaves on a Noetherian scheme with a dualizing complex. Construction extends to the category of coherent sheaves equivariant under an action of an algebraic group; though proof of the general statement in this case does not require new ideas, it provides examples (such as sheaves on the nilpotent cone of a semi-simple group equivariant under the adjoint action) where construction of coherent "intersection cohomology" sheaves works.

研究动机与目标

• 将 perverse sheaf 理论从可构造层扩展到具有对偶复形的概型上的 coherent sheaves。
• 通过用 cohomologically bounded extensions 替代 j!，解决在 coherent 设置下拉回函子缺乏伴随函子的难题。
• 确立在 coherent 设置下 t-structure 存在的条件，特别是 perversity 函数的单调性和共单调性。
• 证明最小扩张函子 j!∗ 的存在性，以及在严格单调性条件下，等变情形下核心范畴的阿廷结构。
• 为几何表示论中构造 coherent 交点上同调层提供一个框架，特别是在幂零锥上。

提出的方法

• 由于 coherent 设置下光滑性条件不成立，因此在不可约子簇的通用点上定义 perversity 函数，而非在 strata 上。
• 在可构造情形中用 j! 的左伴随函子替换为任意扩展 F̃（F 到 X 的扩张），使得 F̃|X−U 的上同调在由 perversity 决定的某个度数以上消失。
• 使用 Grothendieck-Serre 对偶性构造 coherent 情形下 j* 的替代物，要求 perversity 函数为共单调。
• 证明当且仅当 perversity 函数同时满足单调性和共单调性时，t-structure 存在，从而确保截断函子落在 D^b(Coh) 中。
• 通过有界扩张和对偶性，将 BBD 中标准 t-structure 的证明方法适配到 coherent 设置中，避免依赖 j! 和 j*。
• 将形式化方法应用于 G-等变 coherent sheaves，其中 perversity 仅分配给 G-轨道的通用点，且在严格单调性条件下，最小扩张 j!∗ 存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在 coherent sheaf 的导出范畴上定义类似于可构造情形的 perverse t-structure？
• RQ2 为何标准 t-structure 构造在 coherent 设置下失效，以及如何修复？
• RQ3 perversity 函数需满足何种条件，才能确保截断函子落在 D^b(Coh) 而非更大的范畴中？
• RQ4 在 coherent 等变设置下，最小扩张函子 j!∗ 在何种条件下存在？
• RQ5 在何种条件下，perverse t-structure 的核心范畴成为阿廷环，其对表示论有何影响？

主要发现

• 对于具有对偶复形的诺特概型 X，若 perversity 函数同时满足单调性和共单调性，则 D^b(Coh(X)) 上存在 perverse t-structure。
• 该构造用 cohomologically bounded extensions 替代 j!，避免了在 coherent 设置下对 j* 的左伴随函子的需求。
• 在 G-等变情形下，最小扩张函子 j!∗ 存在当且仅当 perversity 函数为严格单调且共单调，这要求轨道的维数间隙至少为 2，且轨道数有限。
• 当 perversity 函数为严格单调且共单调时，核心范畴 P^G 为阿廷环，即所有对象均有有限长度。
• 核心中的不可约对象恰好是 j!∗(L[p(O)]) 的形式，其中 L 为 G-轨道 O 上的不可约 G-等变向量丛。
• 在特征为零的半单群的幂零锥示例中，中间 perversity p(x_O) = -dim(O)/2 满足条件，得到阿文核心，且与单位根处的量子群存在联系。