[论文解读] Perverse coherent sheaves on blow-up. II. wall-crossing and Betti numbers formula

Hiraku Nakajima, Kōta Yoshioka|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文研究了在射影曲面在一点处的Blow-up上，畸变凝聚层的模空间，建立了关于例外除子线丛的扭转下墙交叉行为，并推导出虚拟Hodge数的公式。证明了这些模空间通过墙交叉与原始曲面的模空间以及Blow-up的常规模空间相连，且给出了以分拆和生成函数表示的贝蒂数的显式公式。

ABSTRACT

This is the second of series of papers studyig moduli spaces of a certain class of coherent sheaves, which we call stable perverse coherent sheaves, on the blow-up of a projective surface at a point. The followings are main results of this paper: a) We describe the wall-crossing between moduli spaces caused by twisting of the line bundle associated with the exceptional divisor. b) We give the formula for virtual Hodge numbers of moduli spaces of stable perverse coherent sheaves. Moreover we also give proofs of the followings which we observed in a special case in arXiv:0802.3120: c) The moduli space of stable perverse coherent sheaves is isomorphic to the usual moduli space of stable coherent sheaves on the original surface if the first Chern class is orthogonal to the exceptional divisor. d) The moduli space becomes isomorphic to the usual moduli space of stable coherent sheaves on the blow-up after twisting by sufficiently large negative power of the line bundle associated with the exceptional curve. Therefore usual moduli spaces of stable sheaves on the blow-up and the original surfaces are connected via wall-crossings.

研究动机与目标

• 描述在射影曲面在一点处的Blow-up上，畸变凝聚层模空间的墙交叉行为。
• 推导这些模空间的虚拟Hodge数（从而贝蒂数）的公式。
• 证明当一阶陈类与例外除子正交时，稳定畸变凝聚层的模空间与原始曲面的常规模空间同构。
• 证明当对 $\mathcal{O}(-mC)$ 进行足够大的 $m$ 的扭转后，模空间与Blow-up上常规模空间同构。
• 通过墙交叉现象，建立原始曲面与Blow-up上模空间之间的完整联系。

提出的方法

• 构造中间模空间 $\widehat{M}^{m,m+1}(c)$，通过双有理映射 $\xi_m$ 和 $\xi_m^+$ 连接不同的 $\widehat{M}^{m}(c)$。
• 使用环面固定点技巧和固定点处切空间的权空间分解，计算负权空间的维数。
• 应用一参数子群作用 $\lambda(t) = (t^{N_1}, t^{N_2}, t^{n_1}, \dots, t^{n_r})$，其中 $N_2 \gg n_1 > \cdots \gg N_1 > 0$，以分析等变结构。
• 计算 $\operatorname{Ext}^1(E_\alpha, E_\beta(-\ell_\infty))$ 的贡献，其权由 $e_\beta e_\alpha^{-1}$ 确定，并对固定点分量求和。
• 利用分拆和 $q$-Pochhammer 符号，推导模空间Poincaré级数的生成函数公式。
• 通过替换 $m_\alpha \to m_\alpha + k_\alpha$ 并相应调整生成函数，将公式应用于 $\widehat{M}^m(c)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 模空间在 $\mathcal{O}(C)$ 扭转下的变化如何？其墙交叉结构是怎样的？
• RQ2 这些模空间的虚拟Hodge数（或贝蒂数）的公式是什么？
• RQ3 在何种条件下，畸变凝聚层的模空间与原始曲面 $X$ 上的模空间同构？
• RQ4 在对 $\mathcal{O}(-mC)$ 进行扭转后，模空间在何时与Blow-up $\widehat{X}$ 上的常规模空间同构？
• RQ5 原始曲面 $X$ 与Blow-up $\widehat{X}$ 上的模空间能否通过墙交叉现象连接？

主要发现

• 通过双有理映射 $\xi_m$ 和 $\xi_m^+$，$\widehat{M}^m(c)$ 与 $\widehat{M}^{m+1}(c)$ 之间的墙交叉被描述，形成一系列模空间的链。
• 通过涉及分拆和 $q$-Pochhammer 符号的生成函数，计算了 $\widehat{M}^m(c)$ 的虚拟Hodge数。
• 当 $(c_1, [C]) = 0$ 时，模空间 $\widehat{M}^m(c)$ 与原始曲面 $X$ 上稳定层的模空间同构。
• 当 $m$ 足够大时，对 $\mathcal{O}(-mC)$ 的扭转使 $\widehat{M}^m(c)$ 与Blow-up $\widehat{X}$ 上常规模空间同构。
• Poincaré级数 $\sum P_t(\widehat{M}^m(c)) \mathfrak{q}^{\Delta(c)}$ 的公式以 $m_\alpha$、$k_\alpha$ 和 $t$-加权内积显式给出。
• 在 $m \to \infty$ 的极限下，该公式恢复了 [23, Cor. 3.10] 中的已知结果，验证了其一致性。