[论文解读] Perverse sheaves on semi-abelian varieties

Yongqiang Liu, Laurenţiu Maxim+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文通过其上同调跳跃簇，利用其在半阿贝尔簇上的上同调跳跃簇，对复数上的奇异层进行了完整的全局刻画，推广了Schnell在阿贝尔簇上的结果以及Gabber-Loeser在仿射环面上的结果。关键贡献在于基于这些簇的精细半阿贝尔余维数提出了一种类结构检测定理，统一并扩展了奇异层理论与复代数簇对偶性理论的先前工作。

ABSTRACT

We give a complete (global) characterization of complex perverse sheaves on semi-abelian varieties in terms of their cohomology jump loci. Our results generalize Schnell's work on perverse sheaves on complex abelian varieties, as well as Gabber-Loeser's results on perverse sheaves on complex affine tori. We apply our results to the study of cohomology jump loci of smooth quasi-projective varieties, to the topology of the Albanese map, and in the context of homological duality properties of complex algebraic varieties.

研究动机与目标

• 将Schnell在复阿贝尔簇上对奇异层的刻画（Schnell）以及Gabber-Loeser在仿射环面上的刻画（Gabber-Loeser）推广至更广泛的半阿贝尔簇类。
• 通过上同调跳跃簇，建立 $\mathbb{C}$-奇异层在全局上的完整描述，这些跳跃簇是特征簇中的平移子环面。
• 将此刻画应用于研究光滑拟射影簇的上同调跳跃簇、阿爾巴內塞映射的拓扑性质，以及同调对偶性性质。
• 证明：光滑拟射影簇的阿爾巴內塞映射是半小的，当且仅当该簇是维数为 $n$ 的阿贝尔对偶空间，前提是映射是 proper 的。

提出的方法

• 利用Mellin变换和上同调跳跃簇的不可约分支的线性结构，定义精细半阿贝尔余维数。
• 为构造复形的上同调跳跃簇引入半阿贝尔余维数 $\operatorname{codim}_{sa}$ 和阿贝尔余维数 $\operatorname{codim}_{a}$ 的概念。
• 应用分解定理和相对硬Lefschetz定理，分析阿爾巴內塞映射下局部系统前推的性质。
• 证明：$R\operatorname{alb}_*L[n]$ 是奇异层，当且仅当上同调跳跃簇满足特定的余维数条件。
• 利用阿爾巴內塞映射的普遍性质，对嵌入进行因式分解，并推导出当簇是阿贝尔对偶空间时，阿爾巴內塞映射是半小的。
• 建立一个猜想性逆定理：若光滑拟射影簇的阿爾巴內塞映射是 proper 的，则该簇是维数为 $n$ 的阿贝尔对偶空间，当且仅当映射是半小的，且该簇同伦等价于一个 $n$-维的CW复形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过上同调跳跃簇对半阿贝尔簇上的 $\mathbb{C}$-奇异层进行全局刻画？
• RQ2 上同调跳跃簇的余维数与半阿贝尔簇 $G$ 上 $D^b_c(G,\mathbb{C})$ 的奇异t-结构之间存在何种精确关系？
• RQ3 在何种条件下，光滑拟射影簇的阿爾巴內塞映射是半小的？这与对偶性性质有何关联？
• RQ4 对半阿贝尔簇上奇异层的刻画能否用于检测亚历山大型不变量的有限性性质？
• RQ5 阿爾巴內塞映射的半小性是否足以判定一个光滑拟射影簇是阿贝尔对偶空间？

主要发现

• 本文建立了半阿贝尔簇 $G$ 上 $\mathbb{C}$-奇异层的完整刻画，其依据是这些奇异层的上同调跳跃簇的（半）阿贝尔余维数。
• 上同调跳跃簇 ${\mathcal{V}}^i(G,\mathcal{F})$ 是 $\operatorname{Char}(G) \cong (\mathbb{C}^*)^{m+2g}$ 中平移子环面的有限并集，其余维数决定了 $\mathcal{F}$ 在奇异t-结构中的位置。
• 若阿爾巴內塞映射 $\operatorname{alb}: X \to \operatorname{Alb}(X)$ 是 proper 且半小的，则 $X$ 是维数为 $n$ 的阿贝尔对偶空间，推广了仿射簇的已知结果。
• $R\operatorname{alb}_*\mathbb{C}_X[n]$ 是奇异层，当且仅当 $X$ 的上同调跳跃簇满足余维数条件 $\operatorname{codim}_{sa} {\mathcal{V}}^i(X,\mathbb{C}_X) \geq i$ 对所有 $i$ 成立。
• 例子表明，一个簇是阿贝尔对偶空间并不要求其为仿射的；例如，$({\mathbb{C}}^*)^2$ 在一点的爆破是二维的阿贝尔对偶空间，尽管它不是仿射的。
• 提出一个猜想：若光滑拟射影簇的阿爾巴內塞映射是 proper 的，则该簇是维数为 $n$ 的阿贝尔对偶空间，当且仅当阿爾巴內塞映射是半小的，且该簇同伦等价于一个有限的 $n$-维CW复形。