[论文解读] Pesin set, closing lemma and shadowing lemma in C 1 non-uniformly hyperbolic systems with limit domination

Wenxiang Sun, Xueting Tian|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文在具有极限控制的 $C^1$ 非一致双曲系统中引入了一类新的 Pesin 集，使得能够建立类似于 $C^{1+eta}$ 设置下的闭合引理和跟踪引理。研究证明，周期测度可以逼近在 $\mu$-全测度集上支持的所有不变测度，从而将经典 Pesin 理论结果扩展至 $C^1$ 设置下更弱的控制条件。

ABSTRACT

For a $C^1$ diffeomorphism, we construct a new type of Pesin blocks and thus a Pesin set. All Pesin blocks have the same degree of mean hyperbolicity and all sufficiently long orbit segments with starting points and ending points at the same block are of the same type of quasi-hyperbolicity. We introduce a concept of limit domination, which is weaker than the usual domination. For a $C^1$ diffeomorphism preserving an hyperbolic ergodic measure $\mu$ with limit domination, we show the existence of our Pesin set with $\mu$ full measure, and we realize a closing lemma and shadowing lemma, comparable with Katok's closing lemma and shadowing lemma in the $C^{1+\alpha}\,(0<\alpha<1)$ setting. This enables us to get certain properties in $C^1$ setting with limit domination, which are similar to ones in the classical Pesin theory in the $C^{1+\alpha}$ setting. We present one of such properties, showing that all invariant measures supported on some $\mu$ full measure set can be approximated by periodic measures.

研究动机与目标

• 将经典 Pesin 理论扩展至控制条件更弱的 $C^1$ 微分同胚。
• 构造一种具有均匀平均双曲性与一致拟双曲轨道段的新类型 Pesin 集。
• 在极限控制条件下，于 $C^1$ 设置下建立闭合引理与跟踪引理。
• 证明在 $\mu$-全测度集上支持的所有不变测度均可由周期测度逼近。

提出的方法

• 构造具有均匀平均双曲性且在长轨道段上保持一致拟双曲性的新 Pesin 块。
• 引入极限控制的概念，作为 $C^1$ 系统中经典控制的较弱替代。
• 在 $\mu$ 为双曲遍历测度且极限控制成立的条件下，证明存在 $\mu$-全测度的 Pesin 集。
• 建立与 Katok 在 $C^{1+\alpha}$ 系统中结果相类似的闭合引理与跟踪引理。
• 利用新框架推导出不变测度由周期测度逼近的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在较弱控制条件下，是否可在 $C^1$ 系统中建立闭合引理与跟踪引理？
• RQ2 在极限控制条件下，是否存在具有均匀双曲性特征的 Pesin 集？
• RQ3 在 $C^1$ 非一致双曲系统中，周期测度是否可逼近在 $\mu$-全测度集上支持的所有不变测度？
• RQ4 极限控制与经典控制相比，在 $C^1$ 设置下对实现经典 Pesin 理论结果的促进作用如何？

主要发现

• 在极限控制条件下，为 $C^1$ 微分同胚构造出具有均匀平均双曲性与一致拟双曲性的新 Pesin 集。
• 当 $\mu$ 为双曲遍历测度且极限控制成立时，证明了存在 $\mu$-全测度的 Pesin 集。
• 在 $C^1$ 设置下建立了闭合引理与跟踪引理，其形式与 Katok 在 $C^{1+\alpha}$ 系统中的结果类似。
• 所有在 $\mu$-全测度集上支持的不变测度均可由周期测度逼近。