[论文解读] Petrov-Galerkin Method for Fully Distributed-Order Fractional Partial Differential Equations

Mehdi Samiee, Ehsan Kharazmi+2 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 24被引用 13

一句话总结

本文提出了一种快速且稳定的Galerkin谱方法，用于求解使用时间方向的Jacobi多分式多项式和空间方向的勒让德多项式进行完全分布阶分数阶PDE的数值解。该方法实现了谱收敛，通过分布Sobolev空间确保了适定性，并采用统一的快速线性求解器，显著提升了高维问题的计算效率。

ABSTRACT

Distributed-order PDEs are tractable mathematical models for complex multiscaling anomalous transport, where derivative orders are distributed over a range of values. We develop a fast and stable Petrov-Galerkin spectral method for such models by employing Jacobi extit{poly-fractonomial}s and Legendre polynomials as temporal and spatial basis/test functions, respectively. By defining the proper underlying extit{ distributed Sobolev} spaces and their equivalent norms, we prove the well-posedness of the weak formulation, and thereby carry out the corresponding stability and error analysis. We finally provide several numerical simulations to study the performance and convergence of proposed scheme.

研究动机与目标

• 开发一种适用于(1+d)维完全分布阶分数阶PDE（含双侧导数）的稳定且高效的数值格式。
• 将分布Sobolev空间框架扩展至支持完全分布阶PDE的弱形式。
• 通过离散inf-sup条件与等价范数的严格分析，确保弱形式的适定性。
• 通过利用刚度矩阵与质量矩阵中的结构特征，设计一种快速线性求解器，以提升高维问题中的计算效率。
• 为所提出的Petrov-Galerkin谱方法建立稳定性与误差分析，实现谱收敛。

提出的方法

• 采用Jacobi多分式多项式作为时间方向的基函数与测试函数，以处理分布阶时间导数。
• 在Petrov-Galerkin框架中，使用勒让德多项式作为空间方向的基函数与测试函数，以处理空间导数。
• 定义一类新的分布Sobolev空间，并推导其等价范数，以支持弱形式与稳定性分析。
• 通过从标准域到物理域的仿射映射构造刚度矩阵项，实现空间算子的精确计算。
• 利用足够数量的高斯-勒让德求积点，确保在分布阶区间上积分的谱精度。
• 通过利用刚度矩阵与质量矩阵中的对称性与结构特征，实现统一的快速线性求解器，显著降低高维问题的求解时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为时间与空间方向均具有变阶导数的完全分布阶分数阶PDE，构建并分析Petrov-Galerkin谱方法？
• RQ2 为确保弱形式的适定性，所需合适的函数空间框架——特别是分布Sobolev空间——应如何定义？
• RQ3 在一般分布阶条件下，所提出的方法是否能够实现谱收敛与稳定性？
• RQ4 在高维问题中，如何在不产生高昂计算成本的前提下，高效计算与求逆刚度矩阵？
• RQ5 Jacobi多分式多项式与勒让德多项式在实现数值格式的高阶精度与稳定性方面起到何种作用？

主要发现

• 所提出的Petrov-Galerkin谱方法在完全分布阶分数阶PDE中实现了谱收敛，数值模拟结果已验证该结论。
• 离散inf-sup条件得到满足，确保了在所构建的分布Sobolev空间框架下弱形式的适定性。
• 总空间刚度矩阵是对称的，其矩阵项通过仿射映射与足够数量的高斯-勒让德求积点实现精确计算。
• 由于采用统一的快速线性求解器，该方法在高维问题中表现出显著的计算效率，该求解器充分利用了矩阵的结构与对称性。
• 稳定性与误差分析得到严格证明，误差随多项式阶数增加以谱速率衰减。
• 数值结果证实，该方法在涉及分布阶时间与空间导数的各种测试算例中均表现出高精度与强鲁棒性。