[论文解读] Pfaffian structures and certain solutions to BKP hierarchies I. Sums over partitions

A. Yu. Orlov, Takahiro Shiota+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用 23

一句话总结

本文为大BKP（lBKP）和2-lBKP层级引入了一类可解解——'易tau函数'，其表达式为对分拆的Schur函数与投影Schur函数之和，权重为Pfaffian。这些函数推广了超几何型tau函数，并被证明可描述正交与辛随机矩阵系综的生成函数，以及一维晶格上具有硬核排斥作用的费米子粒子系统的统计力学模型。

ABSTRACT

We introduce a useful and rather simple class of BKP tau functions which which we shall call "easy tau functions". We consider two versions of BKP hierarchy, one we will call "small BKP hierarchy" (sBKP) related to $O(\infty)$ introduced in Date et al and "large BKP hierarchy" (lBKP) related to $O(2\infty +1)$ introduced in Kac and van de Leur (which is closely related to the large $O(2\infty)$ DKP hierarchy (lDKP) introduced in Jimbo and Miwa). Actually "easy tau functions" of the sBKP hierarchy were already considered in Harnad et al, here we are more interested in the lBKP case and also the mixed small-large BKP tau functions (Kac and van de Leur). Tau functions under consideration are equal to certain sums over partitions and to certain multi-integrals over cone domains. In this way they may be applicable in models of random partitions and models of random matrices. Here is the first part of the paper where sums of Schur and projective Schur functions over partitions are considered.

研究动机与目标

• 为大BKP（lBKP）和2-lBKP层级定义并研究一类新的可解解——'易tau函数'。
• 建立这些tau函数与随机矩阵系综（特别是正交与辛系综）之间的联系。
• 从具有硬核排斥作用的一维晶格费米子粒子系统角度，探讨这些解的物理诠释。
• 推广已知的超几何型tau函数，并将其与分拆上的Schur函数和投影Schur函数相联系。
• 利用费米子Fock空间形式，推导随机粒子模型中生成函数与跃迁概率的显式公式。

提出的方法

• 将lBKP tau函数表示为分拆上的求和：τ_ll′(t) = ∑_λ∈P s_λ(t) Π_λ(l,l′)，其中Π_λ(l,l′)为Pfaffian。
• 采用[13]中lBKP层级的费米子Fock空间表示，通过创生/湮灭算符时间有序指数的真空期望值表达tau函数。
• 建立一个在一维晶格上具有时间演化J₁ + J₋₁的费米子系统模型，其中J_±1为移位算符。
• 利用Baker–Campbell–Hausdorff公式简化指数，将从真空到配置λ的路径数表示为W_0→λ(T) = ⟨0|(J₁ + J₋₁)^T|λ⟩。
• 将生成函数Z₀(T) = ⟨0|(J₁ + J₋₁)^T|Ω₀⟩与Schur函数相联系，并通过鞍点近似推导其渐近表达式。
• 分析'胖分拆'λ ∪ λ（具有重复部分的偶长分拆）情形，以建模一维二聚体，证明当T为偶数时，N_FP(T) = 2^T(T−1)/2。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地构造大BKP层级的可解解（'易tau函数'）？
• RQ2 lBKP tau函数与随机矩阵系综（特别是正交与辛系综）之间存在何种联系？
• RQ3 Pfaffian加权的分拆求和如何与一维晶格上费米子粒子系统的物理模型相联系？
• RQ4 投影Schur函数与胖分拆在lBKP tau函数结构中扮演何种角色？
• RQ5 能否从tau函数形式中推导出随机粒子系统中路径计数统计的渐近行为？

主要发现

• lBKP tau函数τ_ll′(t)被表示为所有分拆λ ∈ P的Schur函数s_λ(t)与Pfaffian Π_λ(l,l′)加权之和，从而提供了一类新的可解解。
• 一维费米子粒子系统生成函数为Z₀(T) = T! s^(T)(t′₂)，其中t′₂ = (1,1,0,0,…), s^(T)为分拆(T)的初等Schur函数。
• 从真空到配置λ的跃迁概率为p_0→λ(T) = s_λ(t₁)/s^(T)(t′₂) δ(T,|λ|)，其中t₁ = (1,0,0,…), δ(T,|λ|)表示T − |λ|为偶数。
• 当T较大时，生成函数渐近行为为Z₀(T) ∼ exp( T/2 log T + T/2 log 2 + O(√T) )。
• 当T为偶数时，终止于'胖分拆'配置λ ∪ λ的路径数为N_FP(T) = 2^T(T−1)/2，当T为奇数时为0，对应于一维二聚体构型。
• 胖分拆情形的生成函数为∑_{T even} t^T/T! N_FP(T) = e^t²，确认了二聚体态的组合结构。