[论文解读] Phase correlations in chaotic dynamics A Shannon entropy measure

P. M. Cincotta, C. M. Giordano|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2018

Statistical Mechanics and Entropy被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于香农熵的方法，用于检测混沌动力系统中的相位关联，证明熵衰减速率可揭示角变量中弱或强关联的存在。该方法有效识别出正常扩散的偏离，特别是在阿诺德哈密顿系统中，表明当关联显著时，标准的简化随机性近似方法会失效。

ABSTRACT

In the present work we investigate phase correlations by recourse to the Shannon entropy. Using theoretical arguments we show that the entropy provides an accurate measure of phase correlations in any dynamical system, in particular when dealing with a chaotic diffusion process. We apply this approach to different low dimensional maps in order to show that indeed the entropy is very sensitive to the presence of correlations among the successive values of angular variables, even when it is weak. Later on, we apply this approach to unveil strong correlations in the time evolution of the phases involved in the Arnold's Hamiltonian that lead to anomalous diffusion, particularly when the perturbation parameters are comparatively large. The obtained results allow us to discuss the validity of several approximations and assumptions usually introduced to derive a local diffusion coefficient in multidimensional near--integrable Hamiltonian systems, in particular the so-called reduced stochasticity approximation.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒且计算高效的相位关联检测方法，尤其适用于传统关联函数不切实际的混沌系统。
• 挑战切尔尼克夫形式化阿诺德扩散中简化随机性近似的有效性，该近似假设相位演化不相关。
• 提供一种独立于方差幂律标度的混沌扩散速率度量，使用香农熵而非基于方差的方法。
• 研究相位关联如何影响近可积哈密顿系统中局部扩散系数估计的准确性。
• 展示该方法在检测导致异常扩散的弱关联方面的敏感性，特别是在低维映射和阿诺德哈密顿系统中。

提出的方法

• 使用香农熵 $\mathcal{I}(N) = -\sum_{k=1}^{q} \mu(a_k) \ln \mu(a_k)$ 来量化相空间划分的信息含量，其中 $\mu(a_k) = n_k/N$ 是单元 $a_k$ 的占据概率。
• 将该熵应用于面积保测映射和哈密顿系统中角变量的时间序列，通过跟踪其随时间 $N$ 的衰减来推断关联强度。
• 将熵衰减与理论预期进行比较：遍历行为下为反时间关系 ($\sim t^{-1}$)，均匀分布下为反平方关系 ($\sim t^{-2}$)，偏离则表明存在关联。
• 在知名映射（如标准映射、斜梯度映射）上进行数值模拟，验证熵方法与已知混沌动力学的一致性。
• 将该方法扩展至阿诺德哈密顿系统，参数为 $\varepsilon = 0.25$，$\mu = 0.1\varepsilon$，分析 $I_2$ 扩散和相位演化。
• 利用熵衰减速率评估切尔尼克夫模型中假设 $\langle \cos^2 \theta_2 \rangle \approx Rt/2$ 的有效性，结果表明当强关联存在时该假设会失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 当传统时间关联函数计算成本过高时，如何可靠地测量混沌系统中的相位关联？
• RQ2 相位关联在多大程度上使切尔尼克夫模型中阿诺德扩散的简化随机性近似失效？
• RQ3 香农熵能否作为比基于方差标度更鲁棒且独立的混沌扩散速率度量？
• RQ4 弱相位关联在诱导异常扩散中起什么作用，特别是在方差增长缓慢或亚扩散的系统中？
• RQ5 在阿诺德哈密顿系统的哪些参数区域内，基于熵的方法能揭示与遍历或随机相位行为的显著偏离？

主要发现

• 香农熵衰减速率提供了一种对相位关联敏感且计算高效的度量，即使关联较弱亦可适用。
• 对于 $\kappa = 9.00$，熵衰减遵循 $\sim t^{-1}$，表明类似遍历行为；而对于 $\kappa = 1.00$，其衰减为 $\sim t^{-2}$，表明相位分布均匀。
• 在 $\varepsilon = 0.25$，$\mu = 0.1\varepsilon$，且 $|\omega_2^0| < 2$ 的阿诺德哈密顿系统中，熵分析证实了亚扩散行为，与 CGMB17 和 GC18 中的先前结果一致。
• 当存在强相位关联时，切尔尼克夫模型中的假设 $\langle \cos^2 \theta_2 \rangle \approx Rt/2$ 失效，尤其在 $\omega_2 \lesssim 1$ 时更为明显。
• 映射 (25) 仅在 $\mu\varepsilon \ll \varepsilon \ll 1$ 且 $\omega_2$ 远离 0 和 1 时，才是共振 $\omega_1 = 0$ 混沌层扩散的可靠模型。
• 当 $\omega_2 \gg 1$ 时，简化随机性近似变得合理，表明该模型的有效性依赖于参数且对关联敏感。