[论文解读] Phase estimation with randomized Hamiltonians

Ian Kivlichan, Christopher Granade+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2019

Hydrocarbon exploration and reservoir analysis被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于量子模拟中迭代相位估计算法的随机化哈密顿量框架，通过基于重要性采样在每一步使用不同的哈密顿量，以降低计算成本。通过自适应选择对基态更具相关性的项，该方法显著减少了电路深度和量子比特数量——在化学哈密顿量上通过数值实验验证——同时在谱隙条件下保持了相位估计算法的精度和成功概率。

ABSTRACT

Iterative phase estimation has long been used in quantum computing to estimate Hamiltonian eigenvalues. This is done by applying many repetitions of the same fundamental simulation circuit to an initial state, and using statistical inference to glean estimates of the eigenvalues from the resulting data. Here, we show a generalization of this framework where each of the steps in the simulation uses a different Hamiltonian. This allows the precision of the Hamiltonian to be changed as the phase estimation precision increases. Additionally, through the use of importance sampling, we can exploit knowledge about the ground state to decide how frequently each Hamiltonian term should appear in the evolution, and minimize the variance of our estimate. We rigorously show, if the Hamiltonian is gapped and the sample variance in the ground state expectation values of the Hamiltonian terms sufficiently small, that this process has a negligible impact on the resultant estimate and the success probability for phase estimation. We demonstrate this process numerically for two chemical Hamiltonians, and observe substantial reductions in the number of terms in the Hamiltonian; in one case, we even observe a reduction in the number of qubits needed for the simulation. Our results are agnostic to the particular simulation algorithm, and we expect these methods to be applicable to a range of approaches.

研究动机与目标

• 通过在每一步动态调整所用哈密顿量项，降低量子模拟中迭代相位估计算法的计算成本。
• 通过基于哈密顿量项在基态下的期望值的重要性采样，最小化相位估计算法的方差。
• 证明在原始哈密顿量具有谱隙且各项方差较小时，随机化哈密顿量可保持高保真度和相位估计算法的成功概率。
• 通过在模拟早期识别并剔除无关的哈密顿量项，实现时间复杂度和空间复杂度的同时降低。
• 将现有模拟成本降低技术从项数减少推广至哈密顿量组分的自适应采样。

提出的方法

• 该方法基于哈密顿量项在基态下的期望值，使用重要性采样为其分配概率，优先选择更具影响力的项。
• 在相位估计的每一步迭代中，根据其重要性权重采样，构建不同的随机化哈密顿量，从而减少所用项的数量。
• 理论分析利用量子芝诺效应和绝热定理，对本征求积和相位累积过程中的误差进行边界约束。
• 一个关键方程将理想与实际的幺正演化差异限定为 $ \|U_k - U_{k,\text{ad}}\| \leq \frac{2\lambda^2}{(\gamma - 2\lambda)^2} $，其中 $ \lambda $ 为微扰强度，$ \gamma $ 为谱隙。
• 通过选择与矩阵元绝对值 $ |\langle \psi_p^k | V_k | \psi_0^k \rangle| $ 成比例的采样分布，可使相位估计算法的方差最小化。
• 该方法对底层模拟算法不具依赖性，因此可适用于多种量子模拟方案。

实验结果

研究问题

• RQ1 当每一步使用不同的随机化哈密顿量而非固定哈密顿量时，迭代相位估计算法是否仍能保持精度？
• RQ2 对哈密顿量项进行重要性采样如何影响相位估计算法的方差与收敛性？
• RQ3 在何种条件下，哈密顿量的随机化不会降低相位估计算法的成功概率？
• RQ4 通过选择性剔除低影响的哈密顿量项，可在多大程度上减少量子比特数量和电路深度？
• RQ5 该方法是否可推广至标准相位估计算法之外的其他量子模拟算法？

主要发现

• 该方法显著减少了所用哈密顿量项的数量，其中一个化学体系显示所需量子比特数大幅减少。
• 数值模拟证实，在谱隙条件下，随机化哈密顿量可保持相位估计算法的精度和成功概率。
• 当采样分布与基态中矩阵元的绝对值成比例时，相位估计算法的方差最小化。
• 理论边界表明，若谱隙 $ \gamma $ 相对于微扰强度 $ \lambda $ 足够大，则本征值估计算法的误差可保持可忽略。
• 该方法通过识别并排除无关的量子比特与项，实现了时间复杂度的降低，某些情况下也实现了空间复杂度的降低。
• 只要 $ \lambda / \gamma < \sqrt{1 - \exp(\log(1 - \epsilon)/(M - 1))} $，成功概率即可保持较高水平，从而在测量步骤中确保低失败率。