[论文解读] Phase-matching approach to eliminate the dynamical phase error in Shor's factoring algorithm

Wei Li, Xiao Li+2 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 2

一句话总结

本文提出一种相位匹配技术，以抑制因量子操作之间有限空闲时间而引起的肖尔因式分解算法中的动力学相位误差。通过同步操作延迟期间累积的动力学相位，该方法恢复了高保真度的因式分解，展示了随着量子比特数量增加，成功概率呈指数级提升，并且对整数15、21和33具有鲁棒性。

ABSTRACT

Ideal quantum algorithms usually assume that quantum computing is performed continuously by a sequence of unitary transformations. However, there always exist finite time intervals of idling between consecutive operations in a realistic quantum computing process. During these delays, the interaction Hamiltonian is zero, and only single-qubit rotations occur. Therefore, during these delays, coherent "errors" will accumulate from the dynamical phases of the superposed wave functions. Here we explore the sensitivity of Shor's quantum factoring algorithm to such errors. Our results clearly show an acute and severe sensitivity of Shor's factorization algorithm to the presence of delay times between successive unitary transformations. Specifically, in the presence of these delays, the probability of obtaining the correct answer decreases exponentially with the number of qubits of the work register. Moreover, we prove that the probability of obtaining correct answers for Shor's factoring algorithm decreases fast as the total effective delay time between successive unitary transformations increases. A particularly simple phase-matching approach is proposed in this paper to eliminate or suppress these phase errors when using Shor's algorithm to factorize integers. The robustness of this phase-matching condition is evaluated numerically for several integers: 15,21, and 33.

研究动机与目标

• 研究肖尔因式分解算法对单位门操作之间有限空闲时间引起的动力学相位误差的敏感性。
• 识别出此类延迟导致正确因式分解的成功概率呈指数下降，尤其在量子比特数量增加时更为显著。
• 开发一种简单而有效的相位匹配方法，以抑制或消除实际量子实现中这些相位误差。
• 通过数值模拟验证所提方法在特定整数（15、21和33）下的鲁棒性。

提出的方法

• 引入一种相位匹配条件，以补偿单位门操作之间空闲间隔期间累积的动力学相位。
• 调整量子傅里叶变换（QFT）步骤中控制量子比特的相对相位，以抵消延迟引起的相位漂移。
• 基于系统的有效延迟时间和能级，制定相位匹配条件，确保总累积相位与理想算法保持一致。
• 将相位匹配条件应用于肖尔算法的电路结构，特别是在工作寄存器在空闲期间的演化过程中。
• 使用数值模拟评估在有无相位匹配的情况下，各种延迟条件下因式分解的成功概率。
• 在真实延迟场景下，验证该方法在多个整数（15、21和33）上的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 单位门操作之间存在有限空闲时间时，如何影响肖尔因式分解算法的成功概率？
• RQ2 当存在延迟时，为何成功概率会随着量子比特数量的增加而呈指数下降？
• RQ3 一种简单的相位匹配技术能否有效抑制肖尔算法中由这些延迟引起的动力学相位误差？
• RQ4 在不同延迟条件下，该相位匹配方法对15、21和33等整数的鲁棒性如何？
• RQ5 总有效延迟时间与因式分解保真度退化之间的关系是什么？

主要发现

• 当存在空闲时间时，肖尔算法的成功概率随量子比特数量的增加呈指数下降，表明对动力学相位误差极为敏感。
• 单位门操作之间的总有效延迟时间是因式分解保真度退化的关键因素，延迟越长，成功概率衰减越快。
• 所提出的相位匹配方法能有效抑制动力学相位误差，恢复高保真度的因式分解结果。
• 数值结果证实，即使在显著延迟条件下，相位匹配方法也能保持对整数15、21和33的高成功概率。
• 该方法简单且鲁棒，仅需对控制量子比特进行相位调整，无需改变肖尔算法的核心电路结构。
• 相位匹配条件已通过解析推导得出，并证明能有效抵消空闲间隔期间的相位累积。