[论文解读] Phase of the quantum oscillator

H. S. Sharatchandra|ArXiv.org|Oct 6, 1997

Quantum Mechanics and Applications被引用 6

一句话总结

本文通过借鉴规范场论和粒子在盒中的模型，扩展希尔伯特空间，解决了谐振子量子相位算符长期存在的定义难题。该研究提出了一种与周期性一致的新相位不确定度度量，推导出一个与周期性相容的数-相位不确定度关系，并建立了谐振子与具有 Z₂ 规范对称性的平面转子之间的酉等价性，从而在更大的希尔伯特空间框架下为伦敦的相位波函数提供了理论依据。

ABSTRACT

Requirements of a conjugate operator are emphasized, especially in its role in uncertainty relations.It is argued that in many contexts it is necessary to extend the Hilbert space in order to define a conjugate operator as in gauge theories. Example of a particle in a box is analysed. This is closely related to the quantum oscillator through cosine states of Susskind and Glogower.It is used to justify London's phase wave functions albeit as part of a larger Hilbert space. A new definition phase uncertainty neccessiated by periodicity is proposed.It is close to the usual r.m.s. definition.Corresponding number- phase uncertainty relation is obtained and its implications are discussed. Hilbert space of an oscillator is identified with the Hilbert space of a planar rotor with a $Z_2$ gauge invariance.This is used to construct states analogous to the cosine and sine states and to illustrate unitary equivalence of Hilbert spaces.

研究动机与目标

• 解决为量子谐振子定义共轭相位算符这一基础性问题。
• 解决因相位的周期性而使标准不确定度关系失效的问题。
• 通过更大的希尔伯特空间构造，为伦敦的相位波函数提供严格依据。
• 建立谐振子希尔伯特空间与具有 Z₂ 规范对称性的平面转子希尔伯特空间之间的酉等价性。
• 推导出在相位周期性存在的情况下与周期性相容的数-相位不确定度关系。

提出的方法

• 通过扩展希尔伯特空间以容纳自伴相位算符，类比于规范场论。
• 将粒子在盒中的模型作为具有共轭算符的周期性系统的原型进行分析。
• 应用苏斯金德的余弦和正弦态来模拟谐振子中的相位类可观测量。
• 提出一种尊重相位周期性的新相位不确定度定义。
• 构建平面转子的 Z₂ 规范不变形式以模拟谐振子希尔伯特空间。
• 通过规范固定构造，证明谐振子与平面转子希尔伯特空间之间的酉等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为量子谐振子一致地定义一个自伴相位算符？
• RQ2 何种相位不确定度的正确表述能够尊重相位的周期性？
• RQ3 量子谐振子的希尔伯特空间与具有 Z₂ 规范对称性的平面转子的希尔伯特空间之间有何关系？
• RQ4 伦敦的相位波函数能否在更大的希尔伯特空间框架内得到严格证明？
• RQ5 在相位周期性存在的情况下，数-相位不确定度关系的形式是什么？

主要发现

• 提出了一种新相位不确定度定义，能正确反映相位算符的周期性。
• 推导出与周期性边界条件相容的数-相位不确定度关系。
• 量子谐振子的希尔伯特空间与具有 Z₂ 规范对称性的平面转子希尔伯特空间之间存在酉等价性。
• 伦敦的相位波函数被证明是在扩展希尔伯特空间框架下有效的物理态。
• 粒子在盒中的模型为在周期性系统中构造共轭算符提供了有用的类比。
• 该构造表明，自伴相位算符的实现需要扩展的希尔伯特空间，类似于规范场论中的情形。